Номер 4.121, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.121. Правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$ описан около окружности с радиусом $r$. Покажите, что выполняется равенство $A_1A_2 + A_1A_4 = 2r$.

Пусть $O$ — центр окружности, вписанной в правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$, и $r$ — её радиус. Радиус вписанной окружности является апофемой многоугольника. Пусть $R$ — радиус описанной окружности двенадцатиугольника (расстояние от центра до вершин). Вершины $A_1, A_2, ..., A_{12}$ лежат на окружности радиуса $R$.

1. Найдем длину стороны $A_1A_2$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $OA_1A_2$. Центральный угол, стягиваемый стороной правильного двенадцатиугольника, равен $\angle A_1OA_2 = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$.

Проведем апофему (высоту) $OM_1$ к стороне $A_1A_2$. $OM_1 = r$. В прямоугольном треугольнике $OM_1A_1$ угол $\angle M_1OA_1 = \frac{1}{2}\angle A_1OA_2 = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Катет $A_1M_1$ равен половине стороны $A_1A_2$: $A_1M_1 = OM_1 \cdot \tan(\angle M_1OA_1) = r \tan(15^\circ)$.

Следовательно, длина стороны $A_1A_2$ равна $A_1A_2 = 2 \cdot A_1M_1 = 2r \tan(15^\circ)$.

2. Найдем длину диагонали $A_1A_4$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $OA_1A_4$. Центральный угол $\angle A_1OA_4$ стягивает три стороны двенадцатиугольника ($A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4$), поэтому он равен $\angle A_1OA_4 = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $OA_1A_4$ является прямоугольным и равнобедренным с катетами $OA_1 = OA_4 = R$. По теореме Пифагора, длина гипотенузы $A_1A_4$ равна $A_1A_4 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.

Связь между радиусами $r$ и $R$ найдем из того же прямоугольного треугольника $OM_1A_1$: $r = R \cos(15^\circ)$, откуда $R = \frac{r}{\cos(15^\circ)}$.

Подставим выражение для $R$ в формулу для $A_1A_4$: $A_1A_4 = \frac{r}{\cos(15^\circ)} \cdot \sqrt{2} = \frac{r\sqrt{2}}{\cos(15^\circ)}$.

3. Просуммируем длины и докажем равенство.

Сложим полученные выражения для $A_1A_2$ и $A_1A_4$:

$A_1A_2 + A_1A_4 = 2r \tan(15^\circ) + \frac{r\sqrt{2}}{\cos(15^\circ)}$

Приведем к общему знаменателю, используя $\tan(15^\circ) = \frac{\sin(15^\circ)}{\cos(15^\circ)}$:

$A_1A_2 + A_1A_4 = 2r \frac{\sin(15^\circ)}{\cos(15^\circ)} + \frac{r\sqrt{2}}{\cos(15^\circ)} = \frac{r(2\sin(15^\circ) + \sqrt{2})}{\cos(15^\circ)}$

Чтобы доказать, что эта сумма равна $2r$, нам нужно показать, что $2\sin(15^\circ) + \sqrt{2} = 2\cos(15^\circ)$.

Преобразуем это тригонометрическое равенство:

$2\cos(15^\circ) - 2\sin(15^\circ) = \sqrt{2}$

$2(\cos(15^\circ) - \sin(15^\circ)) = \sqrt{2}$

Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки в левой части:

$2 \cdot \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(15^\circ) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(15^\circ) \right) = \sqrt{2}$

Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получим:

$2\sqrt{2}(\cos(45^\circ)\cos(15^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(15^\circ)) = \sqrt{2}$

Применяем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$2\sqrt{2}\cos(45^\circ + 15^\circ) = \sqrt{2}$

$2\sqrt{2}\cos(60^\circ) = \sqrt{2}$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2} = \sqrt{2}$

Равенство верно. Следовательно, выражение в скобках в нашей сумме действительно равно $2\cos(15^\circ)$.

Подставляем обратно в сумму:

$A_1A_2 + A_1A_4 = \frac{r(2\cos(15^\circ))}{\cos(15^\circ)} = 2r$

Таким образом, равенство $A_1A_2 + A_1A_4 = 2r$ доказано.

Ответ: Равенство $A_1A_2 + A_1A_4 = 2r$ доказано.