Страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.112. Докажите, что если радиус окружности равен $R$, то сторона вписанного в нее:

1) правильного восьмиугольника равна $R\sqrt{2-\sqrt{2}}$;

2) правильного двенадцатиугольника равна $R\sqrt{2-\sqrt{3}}$.

1) Доказательство для правильного восьмиугольника.

Рассмотрим правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Пусть $O$ — центр окружности, а $A$ и $B$ — две соседние вершины восьмиугольника. Тогда $OA = OB = R$. Сторона восьмиугольника, которую обозначим $a₈$, равна длине отрезка $AB$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный.

Центральный угол, стягиваемый стороной правильного восьмиугольника, равен $\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.

Для нахождения длины стороны $a_8$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $AOB$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

$a_8^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(45^\circ)$

Подставим значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$a_8^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a_8^2 = 2R^2 - R^2\sqrt{2}$

$a_8^2 = R^2(2 - \sqrt{2})$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$a_8 = \sqrt{R^2(2 - \sqrt{2})} = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, действительно равна $R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$.

2) Доказательство для правильного двенадцатиугольника.

Рассмотрим правильный двенадцатиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Пусть $O$ — центр окружности, а $A$ и $B$ — две соседние вершины двенадцатиугольника. Тогда $OA = OB = R$. Сторона двенадцатиугольника, которую обозначим $a₁₂$, равна длине отрезка $AB$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный.

Центральный угол, стягиваемый стороной правильного двенадцатиугольника, равен $\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$.

Для нахождения длины стороны $a_{12}$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $AOB$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

$a_{12}^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(30^\circ)$

Подставим значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$a_{12}^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a_{12}^2 = 2R^2 - R^2\sqrt{3}$

$a_{12}^2 = R^2(2 - \sqrt{3})$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$a_{12} = \sqrt{R^2(2 - \sqrt{3})} = R\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Сторона правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, действительно равна $R\sqrt{2 - \sqrt{3}}$.

4.113. Найдите отношение периметров описанных около окружности и вписанных в окружность правильных n-угольников. Решите задачу при $n = 3, 4 \text{ и } 6$.

Для решения задачи найдем общую формулу для отношения периметров правильного n-угольника, описанного около окружности ($P_{опис}$), и правильного n-угольника, вписанного в ту же окружность ($P_{впис}$). Пусть радиус данной окружности равен $R$.

Сначала найдем периметр вписанного в окружность правильного n-угольника ($P_{впис}$). Сторона такого n-угольника, $a_{впис}$, может быть найдена через радиус описанной окружности $R$ и количество сторон $n$. Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам многоугольника, и стороной многоугольника. Этот треугольник равнобедренный, с боковыми сторонами $R$ и углом между ними $\frac{2\pi}{n}$. Высота, опущенная из центра окружности на сторону многоугольника, делит этот угол и сторону пополам. В получившемся прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $R$, а угол, противолежащий катету, равному половине стороны ($\frac{a_{впис}}{2}$), равен $\frac{\pi}{n}$.

Отсюда, $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a_{впис}/2}{R}$, что дает $a_{впис} = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Периметр вписанного n-угольника: $P_{впис} = n \cdot a_{впис} = 2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Теперь найдем периметр описанного около окружности правильного n-угольника ($P_{опис}$). Для этого многоугольника данная окружность является вписанной, и ее радиус $R$ является апофемой многоугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $R$, отрезком, соединяющим центр окружности с вершиной многоугольника, и половиной стороны многоугольника ($\frac{a_{опис}}{2}$). Угол при центре в этом треугольнике равен $\frac{\pi}{n}$.

В этом треугольнике $\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a_{опис}/2}{R}$, что дает $a_{опис} = 2R \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Периметр описанного n-угольника: $P_{опис} = n \cdot a_{опис} = 2nR \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Следующий рисунок иллюстрирует связь между радиусом $R$ и половинами сторон вписанного и описанного многоугольников.

Теперь найдем искомое отношение периметров:

$\frac{P_{опис}}{P_{впис}} = \frac{2nR \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}{2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}$

Используя тождество $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, получаем:

$\frac{P_{опис}}{P_{впис}} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)/\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}$

Теперь применим эту общую формулу для заданных значений $n$.

при n = 3

Для правильного треугольника ($n=3$) отношение периметров равно:

$\frac{P_{опис}}{P_{впис}} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{1}{1/2} = 2$

Ответ: 2.

при n = 4

Для квадрата ($n=4$) отношение периметров равно:

$\frac{P_{опис}}{P_{впис}} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$.

при n = 6

Для правильного шестиугольника ($n=6$) отношение периметров равно:

$\frac{P_{опис}}{P_{впис}} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

4.114. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного десятиугольника, вписанных в окружность радиусом $R$.

Для нахождения стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность радиусом $R$, воспользуемся общей формулой. Если соединить вершины многоугольника с центром окружности, образуются $n$ равнобедренных треугольников с боковыми сторонами, равными $R$, и углом при вершине (в центре окружности), равным $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$. Сторону многоугольника $a_n$ можно найти, рассмотрев один из таких треугольников. Проведя в нем высоту из центра окружности к стороне $a_n$, мы получим два прямоугольных треугольника. Из них следует формула:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Сторона правильного пятиугольника

Для правильного пятиугольника число сторон $n=5$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем выражение для стороны пятиугольника $a_5$:

$a_5 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{5}\right) = 2R \sin(36^\circ)$

Чтобы найти точное значение $\sin(36^\circ)$, рассмотрим тригонометрическое тождество $\sin(2x) = \cos(3x)$, которое выполняется при $x=18^\circ$ (так как $2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$ и $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$, а $\sin(36^\circ) = \cos(90^\circ - 36^\circ) = \cos(54^\circ)$).Распишем обе части, используя формулы двойного и тройного угла:

$2\sin(x)\cos(x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$

Поскольку $x=18^\circ$, $\cos(x) \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos(x)$:

$2\sin(x) = 4\cos^2(x) - 3$

Заменим $\cos^2(x)$ на $1 - \sin^2(x)$:

$2\sin(x) = 4(1 - \sin^2(x)) - 3$

$2\sin(x) = 1 - 4\sin^2(x)$

Пусть $y = \sin(18^\circ)$. Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$4y^2 + 2y - 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Так как угол $18^\circ$ находится в первой четверти, его синус является положительной величиной, поэтому выбираем корень со знаком "плюс":

$\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Теперь мы можем найти $\sin(36^\circ)$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$, чтобы найти $\cos(36^\circ)$:

$\cos(36^\circ) = 1 - 2\sin^2(18^\circ) = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = 1 - 2\frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} = \frac{8 - 6 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$

Наконец, находим $\sin(36^\circ)$ из основного тригонометрического тождества:

$\sin(36^\circ) = \sqrt{1 - \cos^2(36^\circ)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 6 - 2\sqrt{5}}{16}} = \sqrt{\frac{10 - 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$

Подставим найденное значение в формулу для стороны пятиугольника:

$a_5 = 2R \cdot \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}$

Ответ: $a_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}$

Сторона правильного десятиугольника

Для правильного десятиугольника число сторон $n=10$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем выражение для стороны десятиугольника $a_{10}$:

$a_{10} = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{10}\right) = 2R \sin(18^\circ)$

Значение $\sin(18^\circ)$ мы уже нашли при решении предыдущей части задачи:

$\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Подставим это значение в формулу для стороны десятиугольника:

$a_{10} = 2R \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$

Ответ: $a_{10} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$

4.115. Периметр правильного $n$-угольника равен $P$, а сторона $a_n$. Радиус окружности, описанной около этого $n$-угольника, равен $R$, а радиус окружности, вписанной в него, равен $r$. Найдите неизвестные элементы многоугольника по следующим данным:

1) $n=4$, $R=3\sqrt{2}$ см;

2) $n=3$, $P=24$ см;

3) $n=6$, $r=9$ см;

4) $n=3$, $r=5\sqrt{3}$ см.

1) Дано: $n=4$, $R=3\sqrt{2}$ см. Требуется найти $a_4$, $P$, $r$.
Так как $n=4$, многоугольник является правильным четырехугольником (квадратом).
Сторона правильного n-угольника $a_n$ связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
Найдем сторону квадрата $a_4$:
$a_4 = 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 6\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6$ см.
Периметр $P$ равен произведению числа сторон на длину стороны: $P = n \cdot a_n$.
$P = 4 \cdot 6 = 24$ см.
Радиус вписанной окружности $r$ связан с радиусом описанной окружности $R$ формулой $r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
$r = 3\sqrt{2} \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$ см.
Ответ: $a_4=6$ см, $P=24$ см, $r=3$ см.

2) Дано: $n=3$, $P=24$ см. Требуется найти $a_3$, $R$, $r$.
Так как $n=3$, многоугольник является правильным треугольником.
Найдем сторону треугольника $a_3$ из периметра: $a_3 = \frac{P}{n} = \frac{24}{3} = 8$ см.
Найдем радиус описанной окружности $R$ из формулы $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
$8 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ) = 2R \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.
Отсюда $R = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Найдем радиус вписанной окружности $r$ из формулы $a_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
$8 = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2r \tan(60^\circ) = 2r\sqrt{3}$.
Отсюда $r = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $a_3=8$ см, $R=\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см, $r=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

3) Дано: $n=6$, $r=9$ см. Требуется найти $a_6$, $P$, $R$.
Так как $n=6$, многоугольник является правильным шестиугольником.
Найдем сторону шестиугольника $a_6$ по формуле $a_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
$a_6 = 2 \cdot 9 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 18 \cdot \tan(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.
Найдем периметр $P$:
$P = n \cdot a_6 = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см.
Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a_6$.
$R = 6\sqrt{3}$ см.
Проверим это через формулу $r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$:
$9 = R \cos\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = R \cos(30^\circ) = R \frac{\sqrt{3}}{2} \implies R = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см. Результаты совпадают.
Ответ: $a_6=6\sqrt{3}$ см, $P=36\sqrt{3}$ см, $R=6\sqrt{3}$ см.

4) Дано: $n=3$, $r=5\sqrt{3}$ см. Требуется найти $a_3$, $P$, $R$.
Так как $n=3$, многоугольник является правильным треугольником.
Найдем сторону треугольника $a_3$ по формуле $a_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
$a_3 = 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 10\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30$ см.
Найдем периметр $P$:
$P = n \cdot a_3 = 3 \cdot 30 = 90$ см.
Найдем радиус описанной окружности $R$. Для правильного треугольника выполняется соотношение $R = 2r$.
$R = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ см.
Проверим это через формулу $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$:
$30 = 2R \sin(60^\circ) = 2R \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3} \implies R = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ см. Результаты совпадают.
Ответ: $a_3=30$ см, $P=90$ см, $R=10\sqrt{3}$ см.

4.116. Выразите наименьшую диагональ правильного $n$-угольника через его сторону $a_n$:

1) $a_n=1 \text{ см}, n=5$;

2) $a_n=5 \text{ см}, n=6$.

Наименьшая диагональ правильного $n$-угольника соединяет две вершины через одну. Рассмотрим треугольник, образованный двумя смежными сторонами $a_n$ и наименьшей диагональю $d$. Угол между сторонами является внутренним углом правильного $n$-угольника и равен $\alpha = \frac{(n-2)\pi}{n}$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$d^2 = a_n^2 + a_n^2 - 2 \cdot a_n \cdot a_n \cdot \cos(\alpha) = 2a_n^2 \left(1 - \cos\left(\frac{(n-2)\pi}{n}\right)\right)$

Используя формулу приведения $\cos\left(\frac{(n-2)\pi}{n}\right) = \cos\left(\pi - \frac{2\pi}{n}\right) = -\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)$, получаем:

$d^2 = 2a_n^2 \left(1 + \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)$

Применяя формулу косинуса двойного угла $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$, имеем:

$d^2 = 2a_n^2 \left(2\cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) = 4a_n^2 \cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Отсюда формула для наименьшей диагонали $d$:

$d = 2a_n \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

1) $a_n=1$ см, $n=5$

Для правильного пятиугольника ($n=5$) со стороной $a_5 = 1$ см, подставляем значения в общую формулу:

$d = 2 \cdot a_5 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) = 2 \cdot 1 \cdot \cos(36^\circ)$

Значение косинуса $36^\circ$ является известной величиной, связанной с золотым сечением: $\cos(36^\circ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$.

Тогда наименьшая (и единственная) диагональ пятиугольника равна:

$d = 2 \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{4} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ см.

Ответ: $d = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ см.

2) $a_n=5$ см, $n=6$

Для правильного шестиугольника ($n=6$) со стороной $a_6 = 5$ см, подставляем значения в общую формулу:

$d = 2 \cdot a_6 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot 5 \cdot \cos(30^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда наименьшая диагональ шестиугольника равна:

$d = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Ответ: $d = 5\sqrt{3}$ см.

4.117. Через середины смежных сторон квадрата, вписанного в окружность радиусом $R$, проведена хорда. Найдите длину этой хорды, если:

1) $R=2$ см;

2) $R=3$ см.

Пусть в окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ вписан квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата являются диаметрами окружности, поэтому длина диагонали, например $AC$, равна $2R$.

Хорда, о которой говорится в задаче, проходит через середины двух смежных сторон квадрата. Возьмем смежные стороны $AB$ и $BC$. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $BC$. Тогда искомая хорда — это отрезок $MN$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $ABCD$ — квадрат, угол $\angle B$ прямой, то есть $\angle B = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ этого треугольника. Следовательно, $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. В нашем случае, $MN$ параллельна гипотенузе $AC$ и её длина равна:

$MN = \frac{1}{2} AC$

Гипотенуза $AC$ является диагональю квадрата, которая, как мы установили ранее, равна диаметру описанной окружности.

$AC = 2R$

Подставим это значение в формулу для длины $MN$:

$MN = \frac{1}{2} (2R) = R$

Таким образом, длина искомой хорды равна радиусу окружности. Теперь найдем её длину для каждого из случаев.

1) Если $R = 2$ см, то длина хорды $MN = R = 2$ см.
Ответ: 2 см.

2) Если $R = 3$ см, то длина хорды $MN = R = 3$ см.
Ответ: 3 см.

4.118. Из бревна, диаметр поперечного сечения которого равен 40 см, вырезали 4 одинаковые балки с квадратными поперечными сечениями. Какой может быть наибольшая длина стороны поперечного сечения балки?

Поперечное сечение бревна представляет собой круг с диаметром $D = 40$ см. Следовательно, радиус этого круга равен $R = D/2 = 40/2 = 20$ см.

Из этого бревна необходимо вырезать 4 одинаковые балки с квадратным поперечным сечением. Обозначим длину стороны такого квадрата как $a$. Наша задача — найти максимальное возможное значение $a$.

Чтобы maximizeровать площадь (а значит, и сторону) каждого квадратного сечения, их нужно расположить наиболее компактно внутри круглого сечения бревна. Оптимальным будет симметричное расположение четырех квадратов в виде сетки 2x2, центр которой совпадает с центром круга. При таком расположении четыре квадрата образуют один большой квадрат со стороной $2a$.

Ниже представлена схема такого расположения.

Для того чтобы все четыре балки поместились в бревне, вершины большого квадрата со стороной $2a$ должны лежать внутри или на окружности поперечного сечения бревна. Чтобы сторона $a$ была наибольшей, эти вершины должны лежать точно на окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, проведенным в одну из вершин большого квадрата, и двумя отрезками длиной $a$, которые являются катетами этого треугольника (как показано на схеме синим цветом). Гипотенузой этого треугольника является радиус $R$ (показан красным).

Согласно теореме Пифагора:

$a^2 + a^2 = R^2$

Упростим выражение:

$2a^2 = R^2$

Подставим известное значение радиуса $R = 20$ см:

$2a^2 = 20^2$

$2a^2 = 400$

Теперь найдем $a^2$:

$a^2 = \frac{400}{2} = 200$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $a$:

$a = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$

Таким образом, наибольшая возможная длина стороны поперечного сечения балки составляет $10\sqrt{2}$ см.

Ответ: $10\sqrt{2}$ см.

4.119. Докажите, что в правильном пятиугольнике:

1) любые две диагонали равны;

2) диагонали параллельны одной из его сторон.

Пусть дан правильный пятиугольник ABCDE.

В правильном пятиугольнике все стороны равны и все внутренние углы равны. Сумма внутренних углов n-угольника вычисляется по формуле $(n-2) \cdot 180^\circ$. Для пятиугольника ($n=5$) сумма углов составляет $(5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.
Следовательно, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен $540^\circ / 5 = 108^\circ$.
Таким образом, $AB = BC = CD = DE = EA$ и $\angle ABC = \angle BCD = \angle CDE = \angle DEA = \angle EAB = 108^\circ$.

1) любые две диагонали равны

Чтобы доказать, что все диагонали правильного пятиугольника равны, достаточно доказать равенство любых двух пересекающихся диагоналей, например, AC и BD. Равенство остальных диагоналей будет следовать из симметрии фигуры.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BCD$.
У них:
1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ ($AB = CD$), так как это стороны правильного пятиугольника.
2. Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников.
3. Угол $\angle ABC$ равен углу $\angle BCD$ ($\angle ABC = \angle BCD = 108^\circ$), так как это углы правильного пятиугольника.

Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BCD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В $\triangle ABC$ сторона AC лежит напротив угла $\angle ABC$. В $\triangle BCD$ сторона BD лежит напротив угла $\angle BCD$.
Поскольку треугольники и углы равны, то и противолежащие им стороны равны: $AC = BD$.
Аналогично, рассматривая другие пары треугольников (например, $\triangle BCD$ и $\triangle CDE$, чтобы доказать $BD = CE$), можно показать, что все пять диагоналей правильного пятиугольника равны между собой: $AC = BD = CE = DA = BE$.

Ответ: Доказано, что любые две диагонали в правильном пятиугольнике равны.

2) диагонали параллельны одной из его сторон

Докажем, что каждая диагональ параллельна одной из сторон пятиугольника. В качестве примера докажем, что диагональ AC параллельна стороне ED ($AC \parallel ED$). Для этого воспользуемся признаком параллельности прямых: если сумма внутренних односторонних углов при секущей равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Рассмотрим прямые AC и ED и секущую CD. Нам нужно найти сумму углов $\angle ACD$ и $\angle CDE$.
Угол $\angle CDE$ является внутренним углом правильного пятиугольника, поэтому $\angle CDE = 108^\circ$.

Чтобы найти угол $\angle ACD$, сначала определим угол $\angle BCA$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB = BC$ (стороны правильного пятиугольника), то $\triangle ABC$ является равнобедренным. Угол при вершине $\angle ABC = 108^\circ$. Углы при основании равны:
$\angle BCA = \angle BAC = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Весь угол при вершине C, $\angle BCD$, равен $108^\circ$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle BCA$ и $\angle ACD$.
Теперь можем найти $\angle ACD$:
$\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$.

Вычислим сумму внутренних односторонних углов при секущей CD:
$\angle ACD + \angle CDE = 72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$.

Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые AC и ED параллельны. В силу симметрии правильного пятиугольника, это свойство справедливо для любой диагонали: каждая диагональ параллельна стороне, с которой она не имеет общих вершин (например, $BD \parallel AE$, $CE \parallel AB$ и т.д.).

Ответ: Доказано, что каждая диагональ в правильном пятиугольнике параллельна одной из его сторон.

4.120. Докажите, что если в пятиугольнике имеются две оси симметрии, то этот пятиугольник правильный.

4.120. Для доказательства нам необходимо показать, что если у пятиугольника есть две оси симметрии, то у него равны все стороны и все углы.

Любая ось симметрии многоугольника с нечетным числом вершин (пятиугольник имеет 5 вершин) должна проходить через одну из вершин и середину противолежащей ей стороны.

Пусть $ABCDE$ — наш пятиугольник, вершины которого перечислены в порядке обхода. Пусть $l_1$ и $l_2$ — две различные оси симметрии этого пятиугольника. Поскольку оси различны, они должны проходить через разные вершины. Предположим, без ограничения общности, что ось $l_1$ проходит через вершину $A$ и середину противолежащей стороны $CD$, а ось $l_2$ — через вершину $B$ и середину противолежащей стороны $DE$.

Обозначим через $s_1$ и $s_2$ осевые симметрии (отражения) относительно прямых $l_1$ и $l_2$ соответственно. Так как $s_1$ и $s_2$ являются симметриями пятиугольника, их композиция $r = s_2 \circ s_1$ также является симметрией пятиугольника. Поскольку оси $l_1$ и $l_2$ непараллельны (они проходят через вершины многоугольника и, следовательно, пересекаются), преобразование $r$ является поворотом.

Рассмотрим, как эти симметрии действуют на вершины пятиугольника:

1. Симметрия $s_1$ (ось $l_1$ через $A$ и середину $CD$):
- Вершина $A$ лежит на оси, поэтому $s_1(A) = A$.
- Вершины $B$ и $E$, соседние с $A$, симметричны относительно $l_1$: $s_1(B) = E$ и $s_1(E) = B$.
- Вершины $C$ и $D$, концы стороны, через середину которой проходит ось, симметричны: $s_1(C) = D$ и $s_1(D) = C$.

2. Симметрия $s_2$ (ось $l_2$ через $B$ и середину $DE$):
- Вершина $B$ лежит на оси, поэтому $s_2(B) = B$.
- Вершины $A$ и $C$, соседние с $B$, симметричны относительно $l_2$: $s_2(A) = C$ и $s_2(C) = A$.
- Вершины $E$ и $D$ симметричны относительно $l_2$ (так как $l_2$ — серединный перпендикуляр к отрезку $DE$): $s_2(E) = D$ и $s_2(D) = E$.

Теперь найдем, как действует на вершины поворот $r = s_2 \circ s_1$:
$r(A) = s_2(s_1(A)) = s_2(A) = C$
$r(B) = s_2(s_1(B)) = s_2(E) = D$
$r(C) = s_2(s_1(C)) = s_2(D) = E$
$r(D) = s_2(s_1(D)) = s_2(C) = A$
$r(E) = s_2(s_1(E)) = s_2(B) = B$

Таким образом, поворот $r$ осуществляет циклическую перестановку вершин пятиугольника: $A \to C \to E \to B \to D \to A$. Это означает, что пятиугольник имеет поворотную симметрию 5-го порядка.

Покажем, что из наличия такой симметрии следует, что пятиугольник правильный.
Равенство сторон:
Поскольку $r$ — симметрия, оно сохраняет расстояния.
- $r$ переводит отрезок $AB$ в отрезок $CD$ (так как $r(A)=C$ и $r(B)=D$), следовательно, $AB = CD$.
- $r$ переводит отрезок $BC$ в отрезок $DE$ (так как $r(B)=D$ и $r(C)=E$), следовательно, $BC = DE$.
- $r$ переводит отрезок $CD$ в отрезок $EA$ (так как $r(C)=E$ и $r(D)=A$), следовательно, $CD = EA$.
- $r$ переводит отрезок $DE$ в отрезок $AB$ (так как $r(D)=A$ и $r(E)=B$), следовательно, $DE = AB$.
- $r$ переводит отрезок $EA$ в отрезок $BC$ (так как $r(E)=B$ и $r(A)=C$), следовательно, $EA = BC$.
Из этих равенств следует, что все стороны равны: $AB = BC = CD = DE = EA$.

Равенство углов:
Поворот $r$ сохраняет величины углов.
- $r$ переводит вершину $A$ в $C$, следовательно, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $C$: $\angle A = \angle C$.
- $r$ переводит вершину $B$ в $D$, следовательно, $\angle B = \angle D$.
- $r$ переводит вершину $C$ в $E$, следовательно, $\angle C = \angle E$.
- $r$ переводит вершину $D$ в $A$, следовательно, $\angle D = \angle A$.
- $r$ переводит вершину $E$ в $B$, следовательно, $\angle E = \angle B$.
Из этих равенств следует, что все углы равны: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = \angle E$.

Поскольку у пятиугольника все стороны равны и все углы равны, он является правильным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Наличие у пятиугольника двух различных осей симметрии приводит к тому, что он обладает поворотной симметрией 5-го порядка. Это свойство, в свою очередь, гарантирует равенство всех сторон и всех углов пятиугольника, что по определению означает, что пятиугольник является правильным.

4.121. Правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$ описан около окружности с радиусом $r$. Покажите, что выполняется равенство $A_1A_2 + A_1A_4 = 2r$.

Пусть $O$ — центр окружности, вписанной в правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$, и $r$ — её радиус. Радиус вписанной окружности является апофемой многоугольника. Пусть $R$ — радиус описанной окружности двенадцатиугольника (расстояние от центра до вершин). Вершины $A_1, A_2, ..., A_{12}$ лежат на окружности радиуса $R$.

1. Найдем длину стороны $A_1A_2$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $OA_1A_2$. Центральный угол, стягиваемый стороной правильного двенадцатиугольника, равен $\angle A_1OA_2 = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$.

Проведем апофему (высоту) $OM_1$ к стороне $A_1A_2$. $OM_1 = r$. В прямоугольном треугольнике $OM_1A_1$ угол $\angle M_1OA_1 = \frac{1}{2}\angle A_1OA_2 = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Катет $A_1M_1$ равен половине стороны $A_1A_2$: $A_1M_1 = OM_1 \cdot \tan(\angle M_1OA_1) = r \tan(15^\circ)$.

Следовательно, длина стороны $A_1A_2$ равна $A_1A_2 = 2 \cdot A_1M_1 = 2r \tan(15^\circ)$.

2. Найдем длину диагонали $A_1A_4$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $OA_1A_4$. Центральный угол $\angle A_1OA_4$ стягивает три стороны двенадцатиугольника ($A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4$), поэтому он равен $\angle A_1OA_4 = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $OA_1A_4$ является прямоугольным и равнобедренным с катетами $OA_1 = OA_4 = R$. По теореме Пифагора, длина гипотенузы $A_1A_4$ равна $A_1A_4 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.

Связь между радиусами $r$ и $R$ найдем из того же прямоугольного треугольника $OM_1A_1$: $r = R \cos(15^\circ)$, откуда $R = \frac{r}{\cos(15^\circ)}$.

Подставим выражение для $R$ в формулу для $A_1A_4$: $A_1A_4 = \frac{r}{\cos(15^\circ)} \cdot \sqrt{2} = \frac{r\sqrt{2}}{\cos(15^\circ)}$.

3. Просуммируем длины и докажем равенство.

Сложим полученные выражения для $A_1A_2$ и $A_1A_4$:

$A_1A_2 + A_1A_4 = 2r \tan(15^\circ) + \frac{r\sqrt{2}}{\cos(15^\circ)}$

Приведем к общему знаменателю, используя $\tan(15^\circ) = \frac{\sin(15^\circ)}{\cos(15^\circ)}$:

$A_1A_2 + A_1A_4 = 2r \frac{\sin(15^\circ)}{\cos(15^\circ)} + \frac{r\sqrt{2}}{\cos(15^\circ)} = \frac{r(2\sin(15^\circ) + \sqrt{2})}{\cos(15^\circ)}$

Чтобы доказать, что эта сумма равна $2r$, нам нужно показать, что $2\sin(15^\circ) + \sqrt{2} = 2\cos(15^\circ)$.

Преобразуем это тригонометрическое равенство:

$2\cos(15^\circ) - 2\sin(15^\circ) = \sqrt{2}$

$2(\cos(15^\circ) - \sin(15^\circ)) = \sqrt{2}$

Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки в левой части:

$2 \cdot \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(15^\circ) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(15^\circ) \right) = \sqrt{2}$

Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получим:

$2\sqrt{2}(\cos(45^\circ)\cos(15^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(15^\circ)) = \sqrt{2}$

Применяем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$2\sqrt{2}\cos(45^\circ + 15^\circ) = \sqrt{2}$

$2\sqrt{2}\cos(60^\circ) = \sqrt{2}$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2} = \sqrt{2}$

Равенство верно. Следовательно, выражение в скобках в нашей сумме действительно равно $2\cos(15^\circ)$.

Подставляем обратно в сумму:

$A_1A_2 + A_1A_4 = \frac{r(2\cos(15^\circ))}{\cos(15^\circ)} = 2r$

Таким образом, равенство $A_1A_2 + A_1A_4 = 2r$ доказано.

Ответ: Равенство $A_1A_2 + A_1A_4 = 2r$ доказано.