Страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.153. Меньшая сторона трапеции, описанной около окружности радиусом $R$, равна $1.5R$. Найдите площадь этой трапеции.

Пусть дана трапеция, описанная около окружности радиусом $R$. Высота такой трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2R$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований. Для нашей трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot 2R = (a+b)R$.

Определим, какая из сторон является меньшей. Пусть $c$ — длина боковой стороны трапеции. Если опустить из вершины меньшего основания перпендикуляр на большее основание, мы получим прямоугольный треугольник, в котором боковая сторона трапеции является гипотенузой, а высота трапеции $h=2R$ — катетом. Поскольку гипотенуза всегда больше катета, любая боковая сторона трапеции должна быть не меньше высоты: $c \ge h = 2R$.

По условию, меньшая сторона равна $1,5R$. Так как $1,5R < 2R$, боковая сторона не может быть меньшей стороной. Следовательно, меньшая сторона — это меньшее основание. Обозначим его $b$. Итак, $b=1,5R$.

Для того чтобы найти площадь, нам нужно определить длину большего основания $a$. Задача не определяет вид трапеции, но площадь должна быть определена однозначно. Рассмотрим частный, но допустимый условиями задачи случай — прямоугольную трапецию. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, и ее длина равна высоте трапеции. Пусть это сторона $c_1$. Тогда $c_1 = h = 2R$.

Для любого четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции с основаниями $a$, $b$ и боковыми сторонами $c_1$, $c_2$ это свойство выглядит так: $a+b = c_1+c_2$.

Подставим известные значения: $a + 1,5R = 2R + c_2$. Отсюда можно выразить вторую боковую сторону $c_2$: $c_2 = a - 0,5R$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется, если провести высоту из вершины тупого угла трапеции к большему основанию. Катеты этого треугольника равны высоте трапеции $h=2R$ и разности оснований $a-b = a-1,5R$. Гипотенузой является боковая сторона $c_2$.

По теореме Пифагора: $c_2^2 = h^2 + (a-b)^2$.

Подставим выражения для $c_2$, $h$ и $b$:

$(a - 0,5R)^2 = (2R)^2 + (a - 1,5R)^2$

Раскроем скобки:

$a^2 - aR + 0,25R^2 = 4R^2 + a^2 - 3aR + 2,25R^2$

Сократим $a^2$ в обеих частях и приведем подобные слагаемые:

$-aR + 0,25R^2 = -3aR + 6,25R^2$

Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть, а остальные в правую:

$3aR - aR = 6,25R^2 - 0,25R^2$

$2aR = 6R^2$

Отсюда находим длину большего основания $a$:

$a = \frac{6R^2}{2R} = 3R$

Теперь, зная оба основания ($a=3R$, $b=1,5R$) и высоту ($h=2R$), мы можем найти площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2}h = \frac{3R + 1,5R}{2} \cdot 2R = (3R + 1,5R)R = 4,5R \cdot R = 4,5R^2$

Ответ: $4,5R^2$.

4.154. Найдите углы параллелограмма периметром $2p$ и высотами $h_1$, $h_2$.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Его периметр $P = 2(a+b)$. По условию, $P=2p$, следовательно, полупериметр $p = a+b$.

Пусть $h_1$ — высота, проведенная к стороне $a$, а $h_2$ — высота, проведенная к стороне $b$. Пусть $\alpha$ — острый угол между сторонами $a$ и $b$.

Площадь параллелограмма $S$ можно выразить двумя способами: через сторону и высоту, проведенную к ней, и через две стороны и синус угла между ними.

$S = a \cdot h_1 = b \cdot h_2$

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Приравняем выражения для площади, чтобы связать высоты со сторонами и углом:

Из $a \cdot h_1 = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ получаем $h_1 = b \cdot \sin(\alpha)$, откуда $b = \frac{h_1}{\sin(\alpha)}$.

Аналогично, из $b \cdot h_2 = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ получаем $h_2 = a \cdot \sin(\alpha)$, откуда $a = \frac{h_2}{\sin(\alpha)}$.

Теперь подставим полученные выражения для сторон $a$ и $b$ в формулу полупериметра $a+b=p$:

$\frac{h_2}{\sin(\alpha)} + \frac{h_1}{\sin(\alpha)} = p$

Сложим дроби:

$\frac{h_1 + h_2}{\sin(\alpha)} = p$

Отсюда выражаем синус угла $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{h_1 + h_2}{p}$

Таким образом, один из углов параллелограмма равен:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$

Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$, поэтому второй угол $\beta$ равен:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$

Ответ: углы параллелограмма равны $\arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$ и $180^\circ - \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$.

1. Что такое геометрия, планиметрия?

Геометрия — это раздел математики, который изучает пространственные структуры, их отношения и обобщения. Название происходит от древнегреческих слов $ \gamma\tilde{\eta} $ (гео — «земля») и $ \mu\epsilon\tau\rho\acute{\epsilon}\omega $ (метрео — «мерю»), что дословно означает «землемерие». Исторически геометрия возникла как наука для решения практических задач: измерения земельных участков, проектирования зданий, навигации и астрономических наблюдений.

Предметом изучения геометрии являются фигуры, их размеры, взаимное расположение и свойства. Основными объектами, с которых начинается построение геометрии, являются точки, прямые и плоскости. На их основе строятся более сложные фигуры. Геометрия оперирует такими понятиями, как расстояние, угол, площадь, объем.

Геометрия делится на несколько крупных разделов. Основные из них:

1. Планиметрия — изучает фигуры на плоскости (двумерные фигуры).

2. Стереометрия — изучает фигуры в пространстве (трехмерные фигуры).

Кроме этих классических разделов, существуют и более современные, такие как аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия и топология, которые используют методы других разделов математики для изучения пространственных форм.

Ответ: Геометрия — это раздел математики, изучающий свойства, размеры и взаимное расположение геометрических фигур в пространстве.

Планиметрия — это раздел элементарной геометрии, который изучает свойства фигур, лежащих в одной плоскости. Название происходит от латинского слова planum («плоскость») и греческого $ \mu\epsilon\tau\rho\acute{\epsilon}\omega $ («мерю»).

Все объекты, которые рассматривает планиметрия, являются двумерными. К ним относятся точки, прямые, отрезки, лучи, углы, а также замкнутые фигуры, такие как треугольники, четырехугольники, многоугольники и окружности.

Основные задачи планиметрии включают в себя:

• Построение фигур с помощью циркуля и линейки.

• Вычисление различных характеристик фигур: длин сторон, периметров, величин углов, площадей.

• Доказательство теорем о свойствах фигур, их равенстве, подобии и других отношениях.

Планиметрия служит фундаментом для изучения более сложного раздела — стереометрии, так как многие пространственные тела (например, многогранники) состоят из плоских граней, а их сечения также являются плоскими фигурами.

Ответ: Планиметрия — это раздел геометрии, который изучает свойства фигур, расположенных на одной плоскости (двумерных фигур).

2. Как вы понимаете выражение: точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$?

Выражение «точка B лежит между точками A и C» означает, что все три точки — A, B и C — принадлежат одной и той же прямой, причём точка B расположена на отрезке, концами которого являются точки A и C.

Схематично это можно изобразить так:

В геометрии это положение формально определяется через свойство расстояний между точками. Если точка B лежит между A и C, то длина отрезка AC (расстояние от A до C) равна сумме длин отрезков AB и BC. Это соотношение, являющееся одной из аксиом геометрии, записывается в виде равенства:

$AC = AB + BC$

Данное равенство является ключевым. Его выполнение является необходимым и достаточным условием того, что точка B лежит между точками A и C, и автоматически означает, что все три точки коллинеарны (лежат на одной прямой). Если же точки A, B и C не лежат на одной прямой, то они образуют треугольник, и для них будет справедливо строгое неравенство треугольника: $AC < AB + BC$.

Таким образом, фраза «точка B лежит между точками A и C» однозначно описывает как взаимное расположение точек на прямой, так и математическое соотношение между длинами соответствующих отрезков.

Ответ: Выражение «точка B лежит между точками A и C» означает, что точки A, B и C лежат на одной прямой, при этом расстояние между крайними точками A и C равно сумме расстояний от A до B и от B до C ($AC = AB + BC$).

3. Что такое луч? Дополняющий луч?

Что такое луч?

В геометрии лучом (или полупрямой) называется часть прямой линии, которая состоит из определённой точки на этой прямой (называемой началом луча) и всех точек, лежащих по одну сторону от неё. Луч имеет точку начала, но не имеет конца, то есть он простирается бесконечно в одном направлении.

На рисунке изображён луч с началом в точке O. Он обозначается двумя заглавными буквами, например, $OA$, где O — его начальная точка, а A — любая другая точка, принадлежащая лучу.

Ответ: Луч — это часть прямой, которая имеет начало в некоторой точке и продолжается бесконечно только в одном направлении.

Дополняющий луч?

Дополняющими (или противоположными) лучами называются два луча, которые имеют общее начало и лежат на одной прямой, но направлены в разные стороны. Вместе они образуют целую прямую линию. Угол между дополняющими лучами является развёрнутым и равен $180^\circ$.

На рисунке показаны два дополняющих луча — $OB$ и $OA$. У них общее начало в точке O, и они вместе составляют прямую.

Ответ: Дополняющий луч — это луч, который имеет общее начало с данным лучом и вместе с ним образует прямую линию.

4. Что такое отрезок, концы отрезков, внутренние точки отрезка?

Отрезок

В геометрии отрезок — это часть прямой линии, которая ограничена двумя различными точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок включает в себя оба своих конца и все точки прямой, которые лежат между ними. Если на прямой заданы две точки, например A и B, то отрезок, соединяющий их, обозначается как AB или BA.

Длина отрезка — это расстояние между его концами. В отличие от прямой, которая бесконечна, отрезок всегда имеет конечную длину.

Ответ: Отрезок — это часть прямой, состоящая из двух заданных точек, называемых концами, и всех точек, расположенных между ними.

Концы отрезка

Концы отрезка — это две точки, которые его ограничивают. Эти точки являются частью отрезка и однозначно определяют его положение на прямой и его длину. У любого отрезка есть ровно два конца. Для отрезка AB, показанного на рисунке, концами являются точки A и B.

Концы отрезка также можно назвать его граничными точками.

Ответ: Концы отрезка — это две точки, которые его ограничивают.

Внутренние точки отрезка

Внутренние точки отрезка — это все точки, которые принадлежат отрезку, за исключением его концов. Иными словами, это множество всех точек, которые лежат строго между концами отрезка.

Например, точка C является внутренней точкой отрезка AB, если она лежит на прямой AB, находится между точками A и B, но не совпадает ни с A, ни с B. Для любой внутренней точки C отрезка AB выполняется аксиома: сумма длин отрезков AC и CB равна длине отрезка AB, то есть $|AC| + |CB| = |AB|$.

Ответ: Внутренние точки отрезка — это все его точки, кроме двух его концов.

5. Какими инструментами измеряют длину отрезка? Какие единицы измерения вы знаете?

Какими инструментами измеряют длину отрезка?

Длину отрезка измеряют с помощью различных измерительных инструментов, выбор которых зависит от требуемой точности и размера измеряемого объекта. Вот некоторые из них:
• Линейка: Самый простой и распространенный инструмент для измерения прямых отрезков небольшой длины на плоскости (например, в тетради или на чертеже). На линейку нанесена шкала с делениями, обычно в миллиметрах и сантиметрах.
• Рулетка: Гибкая лента (металлическая или тканевая) с нанесенной шкалой, свернутая в катушку. Используется для измерения более длинных отрезков, в том числе и непрямых. Широко применяется в строительстве, ремонте и шитье.
• Штангенциркуль: Инструмент для высокоточных измерений наружных и внутренних размеров, а также глубин отверстий. Позволяет измерять с точностью до десятых или сотых долей миллиметра.
• Микрометр: Еще более точный инструмент, чем штангенциркуль, используемый для измерения малых линейных размеров с точностью до тысячных долей миллиметра.
• Лазерный дальномер: Современное электронное устройство, которое измеряет расстояние с помощью лазерного луча. Используется для быстрого и точного измерения больших расстояний, особенно в строительстве и геодезии.
• Курвиметр: Механический или электронный прибор для измерения длины извилистых линий на картах, планах и чертежах.

Ответ: Для измерения длины отрезка используют линейку, рулетку, штангенциркуль, микрометр, лазерный дальномер и другие инструменты.

Какие единицы измерения вы знаете?

Существует множество единиц измерения длины, которые можно сгруппировать в различные системы.

Метрическая система (СИ - Система Интернациональная):
Это наиболее распространенная система в мире. Основной единицей является метр (м).
• Километр (км): $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
• Дециметр (дм): $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$
• Сантиметр (см): $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
• Миллиметр (мм): $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$
Для очень малых длин используются микрометр (мкм), где $1 \text{ мм} = 1000 \text{ мкм}$, и нанометр (нм), где $1 \text{ мкм} = 1000 \text{ нм}$.

Имперская (английская) система мер:
Используется в основном в США, Великобритании и некоторых других странах.
• Миля (mile): $1 \text{ миля} \approx 1,609 \text{ км}$
• Ярд (yard): $1 \text{ ярд} = 3 \text{ фута} \approx 91,44 \text{ см}$
• Фут (foot): $1 \text{ фут} = 12 \text{ дюймов} \approx 30,48 \text{ см}$
• Дюйм (inch): $1 \text{ дюйм} \approx 2,54 \text{ см}$

Специализированные единицы:
• Морская миля: Используется в мореплавании и авиации. $1 \text{ морская миля} = 1852 \text{ м}$
• Световой год: Используется в астрономии для измерения межзвездных расстояний. Это расстояние, которое свет проходит в вакууме за один год.
• Парсек (пк): Также астрономическая единица, равная примерно $3,26$ светового года.

Ответ: Существуют различные единицы измерения длины, такие как метр, сантиметр, километр (метрическая система), дюйм, фут, миля (имперская система), а также специализированные единицы, например, морская миля и световой год.

6. Какую фигуру называют углом? Какие элементы имеет угол? Как их обозначают?

Какую фигуру называют углом?

Углом в геометрии называют фигуру, которая образована двумя лучами, выходящими из одной общей точки. Эта общая точка называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол делит плоскость, в которой он лежит, на две части: внутреннюю и внешнюю область.
Ниже представлен пример угла с вершиной в точке O и сторонами OA и OB.

Ответ: Углом называют геометрическую фигуру, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Какие элементы имеет угол?

Каждый угол состоит из следующих основных элементов:
1. Вершина — это точка, из которой исходят оба луча. В примере на рисунке выше вершиной является точка O.
2. Стороны — это два луча, образующие угол. В нашем примере это лучи OA и OB.
Ответ: Элементами угла являются его вершина и две стороны.

Как их обозначают?

Для обозначения углов используют несколько способов:
1. Тремя заглавными латинскими буквами. Угол обозначается символом $ \angle $ и тремя буквами. Буква, обозначающая вершину угла, всегда ставится в середине. Например, угол на рисунке можно обозначить как $ \angle AOB $ или $ \angle BOA $.
2. Одной заглавной латинской буквой. Если из вершины выходит только один угол, его можно обозначить одной буквой, соответствующей вершине. Например, $ \angle O $.
3. Маленькой греческой буквой или цифрой. Внутри угла проводят небольшую дугу и рядом с ней пишут маленькую греческую букву (например, $ \alpha, \beta, \gamma $) или арабскую цифру (1, 2, 3...). Например, $ \angle \alpha $ или $ \angle 1 $.
Ответ: Углы обозначают с помощью символа $ \angle $ и трех заглавных букв (например, $ \angle ABC $), одной заглавной буквы (например, $ \angle B $), или маленькими греческими буквами/цифрами (например, $ \angle \gamma, \angle 2 $).

7. Что такое плоский, прямой, острый и тупой углы?

Плоский угол: это угол, стороны которого являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой. Такой угол также называют развернутым. Его градусная мера всегда составляет $180^\circ$ (или $\pi$ радиан).
Ответ: Плоский (развернутый) угол — это угол, стороны которого образуют прямую линию, и его величина равна $180^\circ$.

Прямой угол: это угол, равный половине развернутого угла. Он образуется пересечением двух перпендикулярных линий. Его градусная мера всегда равна $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан). На чертежах прямой угол часто обозначают маленьким квадратом.
Ответ: Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$, образованный двумя перпендикулярными лучами.

Острый угол: это угол, который по своей величине меньше прямого угла, но больше нуля. Если обозначить величину острого угла греческой буквой альфа ($\alpha$), то его значение будет находиться в диапазоне $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Ответ: Острый угол — это угол, величина которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.

Тупой угол: это угол, который по своей величине больше прямого, но меньше развернутого угла. Если обозначить величину тупого угла греческой буквой бета ($\beta$), то его значение будет находиться в диапазоне $90^\circ < \beta < 180^\circ$.
Ответ: Тупой угол — это угол, величина которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

8. Каким инструментом и в каких единицах измеряют углы?

Какими инструментами измеряют углы

Для измерения углов существует несколько инструментов, выбор которых зависит от требуемой точности и области применения.

Самым распространенным и известным инструментом, особенно в школьной геометрии, является транспортир. Это приспособление, как правило, в форме полукруга или круга, с нанесенной шкалой в градусах от $0^\circ$ до $180^\circ$ или до $360^\circ$. Для измерения угла вершину угла совмещают с центром транспортира, а одну из сторон угла — с его нулевой линией. Величина угла считывается по шкале в том месте, где ее пересекает вторая сторона угла.

В инженерии, строительстве и производстве используются более точные и специализированные приборы:

• Угломер — это общее название для инструментов, предназначенных для измерения углов. Они могут быть как простыми механическими (например, маятниковыми или нониусными), так и сложными электронными (цифровыми), обеспечивающими высокую точность измерений.
• Теодолит — геодезический инструмент для измерения горизонтальных и вертикальных углов при проведении топографической съемки, в строительстве и астрономии.
• Секстант — навигационный измерительный инструмент, используемый для определения высоты небесного светила над горизонтом с целью определения географических координат местности.

Ответ: Углы измеряют с помощью транспортира, угломера, теодолита, секстанта и других специализированных инструментов.

В каких единицах измеряют углы

Величина угла может быть выражена в различных единицах. Наиболее употребительными являются градусы и радианы.

Градусная мера
Наиболее распространенной единицей является градус (обозначается знаком $^\circ$). Полный оборот (полная окружность) содержит $360$ градусов. Таким образом, один градус — это $1/360$ часть полного оборота.
Для более точных измерений градус делят на более мелкие единицы:

• Угловая минута (или просто минута, обозначается знаком $'$). Один градус равен $60$ минутам: $1^\circ = 60'$.
• Угловая секунда (или просто секунда, обозначается знаком $''$). Одна минута равна $60$ секундам: $1' = 60''$. Соответственно, в одном градусе $3600$ секунд: $1^\circ = 3600''$.

Радианная мера
В математике (особенно в тригонометрии и математическом анализе) и физике стандартной единицей измерения углов является радиан (обозначается "рад" или rad).
Один радиан — это центральный угол в окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.
Полная окружность содержит $2\pi$ радиан. Установлена прямая связь между градусной и радианной мерами: $360^\circ = 2\pi \text{ рад}$, откуда следует, что $180^\circ = \pi \text{ рад}$.
Из этого соотношения легко получить формулы для перевода:

• $1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx 0.01745 \text{ рад}$
• $1 \text{ рад} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.2958^\circ$

Существуют и другие, менее распространенные единицы, например, грады (или гоны), где прямой угол равен $100$ градам, а полный оборот — $400$ градам.

Ответ: Углы измеряют в градусах (с их долями — минутами и секундами), радианах, а также в других единицах, таких как грады или обороты.

9. Что такое смежные углы и чему равна сумма смежных углов?

Что такое смежные углы

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, то есть лежат на одной прямой. Вершина у таких углов также общая.

На рисунке ниже показаны два смежных угла: $ \angle ABD $ (обозначен как $ \alpha $) и $ \angle CBD $ (обозначен как $ \beta $).

На этом рисунке сторона $BD$ — общая для обоих углов, стороны $BA$ и $BC$ являются дополнительными полупрямыми, образующими прямую $AC$, а точка $B$ — их общая вершина.

Ответ: Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой и являются дополнительными полупрямыми.

Чему равна сумма смежных углов

Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Это свойство следует непосредственно из определения смежных углов. Так как их не общие стороны ($BA$ и $BC$ на рисунке) вместе образуют прямую линию, то сумма этих углов составляет развёрнутый угол. Величина развёрнутого угла по определению равна $180^\circ$.

Таким образом, для смежных углов $ \alpha $ и $ \beta $, изображённых на рисунке, справедливо равенство: $ \alpha + \beta = 180^\circ $

Ответ: Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

10. Что такое вертикальные углы и какие их свойства вы знаете?

Что такое вертикальные углы

Вертикальные углы — это пара углов, которые образуются при пересечении двух прямых, при этом стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Иными словами, это углы, расположенные друг напротив друга в точке пересечения прямых.

На рисунке изображены две прямые, пересекающиеся в точке $O$. Они образуют четыре угла. При этом образуются две пары вертикальных углов:
1. $\angle 1$ и $\angle 3$ (выделены красным цветом).
2. $\angle 2$ и $\angle 4$ (выделены синим цветом).

Ответ: Вертикальные углы — это два угла, образованные при пересечении двух прямых, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Свойства вертикальных углов

Основное свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны между собой.

Доказательство этого свойства:
Докажем, что $\angle 1 = \angle 3$, используя понятие смежных углов (углов, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой). Сумма смежных углов всегда равна $180^{\circ}$.
1. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными. Следовательно, их сумма равна $180^{\circ}$:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$
2. Углы $\angle 3$ и $\angle 2$ также являются смежными. Следовательно, их сумма также равна $180^{\circ}$:
$\angle 3 + \angle 2 = 180^{\circ}$
3. Из этих двух равенств следует, что:
$\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 2$
4. Вычитая из обеих частей равенства величину угла $\angle 2$, получаем:
$\angle 1 = \angle 3$
Равенство для второй пары вертикальных углов ($\angle 2 = \angle 4$) доказывается аналогично.

Другие свойства, связанные с вертикальными углами:
- Сумма всех четырех углов, образующихся при пересечении двух прямых, равна $360^{\circ}$, так как они образуют полный угол вокруг точки пересечения $O$: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^{\circ}$.
- Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Ответ: Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны. Например, на рисунке выше $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.

11. Какие прямые называются взаимно перпендикулярными?

Две пересекающиеся прямые называются взаимно перпендикулярными (или просто перпендикулярными), если они образуют при пересечении прямые углы. Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$.

Это означает, что если две прямые, скажем, прямая $a$ и прямая $b$, пересекаются, и один из четырех образовавшихся углов равен $90^\circ$, то эти прямые перпендикулярны.

Факт перпендикулярности прямых $a$ и $b$ обозначается с помощью специального символа $\perp$. Запись $a \perp b$ читается как "прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$".

Важное свойство перпендикулярных прямых заключается в том, что все четыре угла, образующиеся при их пересечении, являются прямыми. Это следует из свойств смежных и вертикальных углов. Если один угол равен $90^\circ$, то смежный с ним угол будет равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, а вертикальный ему угол будет также равен $90^\circ$.

Ответ: Взаимно перпендикулярными называются две прямые, которые при пересечении образуют прямые углы (то есть углы, равные $90^\circ$).

12. Что такое накрест лежащие, соответственные и внутренние односторонние углы?

При пересечении двух прямых a и b третьей прямой c, называемой секущей, образуется восемь углов. Эти углы классифицируются по их взаимному расположению. Рассмотрим основные виды таких углов на примере следующего рисунка, где прямая c является секущей для прямых a и b.

Накрест лежащие углы — это два угла, которые лежат во внутренней области между прямыми a и b и по разные стороны от секущей c. На рисунке это пары углов: $ \angle 3 $ и $ \angle 6 $; $ \angle 4 $ и $ \angle 5 $. Важное свойство: если прямые a и b параллельны ($ a \parallel b $), то накрест лежащие углы равны. Например, $ \angle 3 = \angle 6 $.

Ответ: Накрест лежащие углы — это пары углов, расположенные по разные стороны от секущей и находящиеся между двумя другими прямыми.

Соответственные углы — это два угла, которые лежат по одну сторону от секущей c, причём один из них является внутренним, а другой — внешним, и они находятся в одинаковом (соответственном) положении относительно прямых a и b. На рисунке это четыре пары углов: $ \angle 1 $ и $ \angle 5 $; $ \angle 2 $ и $ \angle 6 $; $ \angle 3 $ и $ \angle 7 $; $ \angle 4 $ и $ \angle 8 $. Свойство: если прямые a и b параллельны ($ a \parallel b $), то соответственные углы равны. Например, $ \angle 2 = \angle 6 $.

Ответ: Соответственные углы — это пары углов, расположенные по одну сторону от секущей, причем один угол находится между прямыми, а другой — вне их, но они занимают одинаковое положение относительно каждой из прямых.

Внутренние односторонние углы — это два угла, которые лежат во внутренней области между прямыми a и b и по одну сторону от секущей c. На рисунке это пары углов: $ \angle 3 $ и $ \angle 5 $; $ \angle 4 $ и $ \angle 6 $. Свойство: если прямые a и b параллельны ($ a \parallel b $), то сумма внутренних односторонних углов равна $ 180^{\circ} $. Например, $ \angle 4 + \angle 6 = 180^{\circ} $.

Ответ: Внутренние односторонние углы — это пары углов, расположенные по одну сторону от секущей и находящиеся между двумя другими прямыми.

13. Какие прямые называются параллельными?

Параллельные прямые — это одно из базовых понятий евклидовой геометрии.

В планиметрии (геометрии на плоскости) две прямые называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки, как бы далеко их ни продолжали.

Наглядный пример параллельных прямых a и b:

Параллельность этих прямых обозначается с помощью специального символа как $a \parallel b$.

Ключевым свойством, определяющим параллельные прямые в евклидовой геометрии, является аксиома параллельности (пятый постулат Евклида): через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

В стереометрии (геометрии в пространстве) определение немного дополняется: две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Это необходимо, чтобы отличать их от скрещивающихся прямых, которые тоже не пересекаются, но лежат в разных плоскостях.

Ответ: Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются (то есть не имеют общих точек).

14. Назовите признаки параллельности прямых. Докажите их.

Признаки параллельности прямых — это утверждения (теоремы), которые позволяют сделать вывод о параллельности двух прямых на плоскости, если известны углы, образованные при пересечении этих прямых третьей прямой (секущей).

На рисунке прямые a и b пересечены секущей c. Образовались следующие пары углов:
Накрест лежащие углы: $ \angle 3 $ и $ \angle 5 $; $ \angle 4 $ и $ \angle 6 $.
Соответственные углы: $ \angle 1 $ и $ \angle 5 $; $ \angle 2 $ и $ \angle 6 $; $ \angle 4 $ и $ \angle 8 $; $ \angle 3 $ и $ \angle 7 $.
Односторонние углы (внутренние): $ \angle 4 $ и $ \angle 5 $; $ \angle 3 $ и $ \angle 6 $.

Признак 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые $a$ и $b$, секущая $c$. $ \angle 4 = \angle 6 $ (накрест лежащие углы).
Доказать: $ a \parallel b $.
Доказательство:
Применим метод доказательства от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны, то есть они пересекаются в некоторой точке $M$. Пусть точки пересечения секущей $c$ с прямыми $a$ и $b$ - это $A$ и $B$ соответственно. Тогда точки $A$, $B$ и $M$ образуют треугольник $ABM$.
Рассмотрим случай, когда точка $M$ лежит справа от секущей $c$. В треугольнике $ABM$ угол $ \angle 4 $ является внешним углом при вершине $A$, а угол $ \angle 6 $ — внутренним углом при вершине $B$, не смежным с углом $ \angle 4 $.
По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Следовательно, должно выполняться неравенство $ \angle 4 > \angle 6 $.
Однако это противоречит условию теоремы, по которому $ \angle 4 = \angle 6 $.
Полученное противоречие означает, что наше начальное предположение (что прямые $a$ и $b$ пересекаются) неверно.
Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, а значит, они параллельны. Что и требовалось доказать.
(Аналогично доказывается для другой пары накрест лежащих углов $ \angle 3 $ и $ \angle 5 $).
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Признак 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые $a$ и $b$, секущая $c$. $ \angle 2 = \angle 6 $ (соответственные углы).
Доказать: $ a \parallel b $.
Доказательство:
Углы $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $ являются вертикальными, следовательно, они равны: $ \angle 2 = \angle 4 $.
По условию теоремы нам дано, что $ \angle 2 = \angle 6 $.
Из этих двух равенств следует, что $ \angle 4 = \angle 6 $.
Углы $ \angle 4 $ и $ \angle 6 $ являются накрест лежащими. Поскольку они равны, по первому признаку параллельности прямых мы можем заключить, что прямые $a$ и $b$ параллельны. Что и требовалось доказать.
(Доказательство для других пар соответственных углов аналогично).
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Признак 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: прямые $a$ и $b$, секущая $c$. $ \angle 4 + \angle 5 = 180^\circ $ (односторонние углы).
Доказать: $ a \parallel b $.
Доказательство:
Углы $ \angle 3 $ и $ \angle 4 $ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $ \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ $.
По условию теоремы нам дано, что $ \angle 4 + \angle 5 = 180^\circ $.
Приравнивая левые части этих равенств, получаем: $ \angle 3 + \angle 4 = \angle 4 + \angle 5 $.
Вычитая из обеих частей равенства $ \angle 4 $, получаем $ \angle 3 = \angle 5 $.
Углы $ \angle 3 $ и $ \angle 5 $ являются накрест лежащими. Так как они равны, по первому признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны. Что и требовалось доказать.
(Аналогично доказывается для второй пары односторонних углов $ \angle 3 $ и $ \angle 6 $).
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

15. Какие свойства параллельных прямых вы знаете? (О двух прямых, параллельных третьей прямой.)

Какие свойства параллельных прямых вы знаете?

Параллельные прямые — это прямые на плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Их ключевые свойства, особенно важные в евклидовой геометрии, проявляются при пересечении этих прямых третьей прямой, называемой секущей. Кроме того, существует фундаментальное свойство, связывающее три и более параллельных прямых.

Если две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) пересечены секущей $c$, то образуются углы со следующими свойствами:

- Накрест лежащие углы равны. Это пары внутренних углов, лежащих по разные стороны от секущей. На рисунке выше такая пара углов отмечена красным цветом.

- Соответственные углы равны. Это пары углов, находящихся в одинаковом положении относительно параллельных прямых и секущей (например, оба — левые верхние). На рисунке синим цветом отмечена пара таких углов (один внешний, другой внутренний).

- Односторонние углы (внутренние) в сумме дают $180^\circ$. Это пара внутренних углов, лежащих по одну сторону от секущей. Например, если два накрест лежащих угла равны $\alpha$, то односторонние углы будут равны $\alpha$ и $180^\circ - \alpha$.

Ответ: Основные свойства параллельных прямых: при пересечении секущей накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Также, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

О двух прямых, параллельных третьей прямой.

Это свойство является фундаментальным в евклидовой геометрии и известно как теорема о параллельности двух прямых третьей. Оно также выражает свойство транзитивности отношения параллельности.

Формулировка: Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Это можно записать символически: если даны три различные прямые $a, b, c$ и известно, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то из этого следует, что $a \parallel b$.

Доказательство (методом от противного):

1. Предположение: Допустим, что прямые $a$ и $b$, будучи параллельными прямой $c$, между собой не параллельны. Это означает, что они должны пересекаться в некоторой точке $M$.

2. Анализ: По условию теоремы, мы имеем $a \parallel c$ и $b \parallel c$. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, то получается, что через точку $M$ (которая не лежит на прямой $c$) проходят две различные прямые ($a$ и $b$), и каждая из них параллельна прямой $c$.

3. Противоречие: Полученное утверждение прямо противоречит аксиоме параллельных прямых (V постулату Евклида), которая гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

4. Вывод: Так как наше первоначальное предположение привело к логическому противоречию с фундаментальной аксиомой геометрии, оно неверно. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Ответ: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Это свойство транзитивности параллельности, которое является следствием аксиомы параллельных прямых.