Номер 15, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

15. Какие свойства параллельных прямых вы знаете? (О двух прямых, параллельных третьей прямой.)

Какие свойства параллельных прямых вы знаете?

Параллельные прямые — это прямые на плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Их ключевые свойства, особенно важные в евклидовой геометрии, проявляются при пересечении этих прямых третьей прямой, называемой секущей. Кроме того, существует фундаментальное свойство, связывающее три и более параллельных прямых.

Если две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) пересечены секущей $c$, то образуются углы со следующими свойствами:

- Накрест лежащие углы равны. Это пары внутренних углов, лежащих по разные стороны от секущей. На рисунке выше такая пара углов отмечена красным цветом.

- Соответственные углы равны. Это пары углов, находящихся в одинаковом положении относительно параллельных прямых и секущей (например, оба — левые верхние). На рисунке синим цветом отмечена пара таких углов (один внешний, другой внутренний).

- Односторонние углы (внутренние) в сумме дают $180^\circ$. Это пара внутренних углов, лежащих по одну сторону от секущей. Например, если два накрест лежащих угла равны $\alpha$, то односторонние углы будут равны $\alpha$ и $180^\circ - \alpha$.

Ответ: Основные свойства параллельных прямых: при пересечении секущей накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Также, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

О двух прямых, параллельных третьей прямой.

Это свойство является фундаментальным в евклидовой геометрии и известно как теорема о параллельности двух прямых третьей. Оно также выражает свойство транзитивности отношения параллельности.

Формулировка: Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Это можно записать символически: если даны три различные прямые $a, b, c$ и известно, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то из этого следует, что $a \parallel b$.

Доказательство (методом от противного):

1. Предположение: Допустим, что прямые $a$ и $b$, будучи параллельными прямой $c$, между собой не параллельны. Это означает, что они должны пересекаться в некоторой точке $M$.

2. Анализ: По условию теоремы, мы имеем $a \parallel c$ и $b \parallel c$. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, то получается, что через точку $M$ (которая не лежит на прямой $c$) проходят две различные прямые ($a$ и $b$), и каждая из них параллельна прямой $c$.

3. Противоречие: Полученное утверждение прямо противоречит аксиоме параллельных прямых (V постулату Евклида), которая гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

4. Вывод: Так как наше первоначальное предположение привело к логическому противоречию с фундаментальной аксиомой геометрии, оно неверно. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Ответ: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Это свойство транзитивности параллельности, которое является следствием аксиомы параллельных прямых.