Номер 19, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

19. Назовите признаки равенства треугольников. Докажите их.

Признаки равенства треугольников — это теоремы, позволяющие установить равенство (конгруэнтность) двух треугольников на основе равенства трех их соответствующих элементов. Существует три основных признака равенства.

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.
Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых стороны $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и угол между ними $\angle A = \angle A_1$. Докажем, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Для доказательства используем метод наложения. Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с вершиной $A_1$, а луч $AB$ совпал с лучом $A_1B_1$.
Так как $\angle A = \angle A_1$, то луч $AC$ также совпадет с лучом $A_1C_1$.
Поскольку $AB = A_1B_1$, то вершина $B$ совпадет с вершиной $B_1$.
Поскольку $AC = A_1C_1$, то вершина $C$ совпадет с вершиной $C_1$.
Следовательно, все три вершины треугольника $ABC$ совпали с соответствующими вершинами треугольника $A_1B_1C_1$. Это означает, что сторона $BC$ совпала со стороной $B_1C_1$. Треугольники полностью совпали, следовательно, они равны. Теорема доказана.
Ответ: Первый признак равенства треугольников гласит, что если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.
Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых сторона $AB = A_1B_1$ и прилежащие к ней углы $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Докажем, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы сторона $AB$ совпала со стороной $A_1B_1$ (вершина $A$ с $A_1$, а $B$ с $B_1$). Это возможно, так как $AB = A_1B_1$.
Поскольку $\angle A = \angle A_1$, луч $AC$ пойдет по лучу $A_1C_1$.
Поскольку $\angle B = \angle B_1$, луч $BC$ пойдет по лучу $B_1C_1$.
Вершина $C$ — это точка пересечения лучей $AC$ и $BC$. Вершина $C_1$ — точка пересечения лучей $A_1C_1$ и $B_1C_1$. Так как соответствующие лучи совпали, то и их точки пересечения $C$ и $C_1$ совпадут.
Таким образом, треугольники полностью совпали, а значит, они равны. Теорема доказана.
Ответ: Второй признак равенства треугольников гласит, что если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.
Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$. Докажем, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Приложим $\triangle A_1B_1C_1$ к $\triangle ABC$ так, чтобы их равные стороны $A_1C_1$ и $AC$ совпали, а вершины $B$ и $B_1$ оказались по разные стороны от прямой $AC$.
Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Так как по условию $AB=A_1B_1$, то он является равнобедренным с основанием $BB_1$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle ABB_1 = \angle AB_1B$.
Аналогично, в треугольнике $CBB_1$ стороны $BC=B_1C$, значит, он тоже равнобедренный с основанием $BB_1$, и $\angle CBB_1 = \angle CB_1B$.
Тогда угол $\angle ABC = \angle ABB_1 + \angle CBB_1$, а угол $\angle A_1B_1C_1 = \angle AB_1C = \angle AB_1B + \angle CB_1B$. Из этих равенств следует, что $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.
Теперь мы имеем, что в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ стороны $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$ и угол между ними $\angle B = \angle B_1$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Теорема доказана.
Ответ: Третий признак равенства треугольников гласит, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.