Номер 14, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14. Назовите признаки параллельности прямых. Докажите их.

Признаки параллельности прямых — это утверждения (теоремы), которые позволяют сделать вывод о параллельности двух прямых на плоскости, если известны углы, образованные при пересечении этих прямых третьей прямой (секущей).

На рисунке прямые a и b пересечены секущей c. Образовались следующие пары углов:
Накрест лежащие углы: $ \angle 3 $ и $ \angle 5 $; $ \angle 4 $ и $ \angle 6 $.
Соответственные углы: $ \angle 1 $ и $ \angle 5 $; $ \angle 2 $ и $ \angle 6 $; $ \angle 4 $ и $ \angle 8 $; $ \angle 3 $ и $ \angle 7 $.
Односторонние углы (внутренние): $ \angle 4 $ и $ \angle 5 $; $ \angle 3 $ и $ \angle 6 $.

Признак 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые $a$ и $b$, секущая $c$. $ \angle 4 = \angle 6 $ (накрест лежащие углы).
Доказать: $ a \parallel b $.
Доказательство:
Применим метод доказательства от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны, то есть они пересекаются в некоторой точке $M$. Пусть точки пересечения секущей $c$ с прямыми $a$ и $b$ - это $A$ и $B$ соответственно. Тогда точки $A$, $B$ и $M$ образуют треугольник $ABM$.
Рассмотрим случай, когда точка $M$ лежит справа от секущей $c$. В треугольнике $ABM$ угол $ \angle 4 $ является внешним углом при вершине $A$, а угол $ \angle 6 $ — внутренним углом при вершине $B$, не смежным с углом $ \angle 4 $.
По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Следовательно, должно выполняться неравенство $ \angle 4 > \angle 6 $.
Однако это противоречит условию теоремы, по которому $ \angle 4 = \angle 6 $.
Полученное противоречие означает, что наше начальное предположение (что прямые $a$ и $b$ пересекаются) неверно.
Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, а значит, они параллельны. Что и требовалось доказать.
(Аналогично доказывается для другой пары накрест лежащих углов $ \angle 3 $ и $ \angle 5 $).
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Признак 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые $a$ и $b$, секущая $c$. $ \angle 2 = \angle 6 $ (соответственные углы).
Доказать: $ a \parallel b $.
Доказательство:
Углы $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $ являются вертикальными, следовательно, они равны: $ \angle 2 = \angle 4 $.
По условию теоремы нам дано, что $ \angle 2 = \angle 6 $.
Из этих двух равенств следует, что $ \angle 4 = \angle 6 $.
Углы $ \angle 4 $ и $ \angle 6 $ являются накрест лежащими. Поскольку они равны, по первому признаку параллельности прямых мы можем заключить, что прямые $a$ и $b$ параллельны. Что и требовалось доказать.
(Доказательство для других пар соответственных углов аналогично).
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Признак 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: прямые $a$ и $b$, секущая $c$. $ \angle 4 + \angle 5 = 180^\circ $ (односторонние углы).
Доказать: $ a \parallel b $.
Доказательство:
Углы $ \angle 3 $ и $ \angle 4 $ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $ \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ $.
По условию теоремы нам дано, что $ \angle 4 + \angle 5 = 180^\circ $.
Приравнивая левые части этих равенств, получаем: $ \angle 3 + \angle 4 = \angle 4 + \angle 5 $.
Вычитая из обеих частей равенства $ \angle 4 $, получаем $ \angle 3 = \angle 5 $.
Углы $ \angle 3 $ и $ \angle 5 $ являются накрест лежащими. Так как они равны, по первому признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны. Что и требовалось доказать.
(Аналогично доказывается для второй пары односторонних углов $ \angle 3 $ и $ \angle 6 $).
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.