Номер 10, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Что такое вертикальные углы и какие их свойства вы знаете?

Что такое вертикальные углы

Вертикальные углы — это пара углов, которые образуются при пересечении двух прямых, при этом стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Иными словами, это углы, расположенные друг напротив друга в точке пересечения прямых.

На рисунке изображены две прямые, пересекающиеся в точке $O$. Они образуют четыре угла. При этом образуются две пары вертикальных углов:
1. $\angle 1$ и $\angle 3$ (выделены красным цветом).
2. $\angle 2$ и $\angle 4$ (выделены синим цветом).

Ответ: Вертикальные углы — это два угла, образованные при пересечении двух прямых, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Свойства вертикальных углов

Основное свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны между собой.

Доказательство этого свойства:
Докажем, что $\angle 1 = \angle 3$, используя понятие смежных углов (углов, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой). Сумма смежных углов всегда равна $180^{\circ}$.
1. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными. Следовательно, их сумма равна $180^{\circ}$:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$
2. Углы $\angle 3$ и $\angle 2$ также являются смежными. Следовательно, их сумма также равна $180^{\circ}$:
$\angle 3 + \angle 2 = 180^{\circ}$
3. Из этих двух равенств следует, что:
$\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 2$
4. Вычитая из обеих частей равенства величину угла $\angle 2$, получаем:
$\angle 1 = \angle 3$
Равенство для второй пары вертикальных углов ($\angle 2 = \angle 4$) доказывается аналогично.

Другие свойства, связанные с вертикальными углами:
- Сумма всех четырех углов, образующихся при пересечении двух прямых, равна $360^{\circ}$, так как они образуют полный угол вокруг точки пересечения $O$: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^{\circ}$.
- Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Ответ: Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны. Например, на рисунке выше $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.