Номер 17, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

17. Что такое медиана, биссектриса и высота треугольника?

В геометрии медиана, биссектриса и высота являются тремя основными отрезками, которые можно провести внутри треугольника из его вершин. Каждый из этих отрезков обладает уникальными свойствами и определением.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

На рисунке изображен треугольник $ABC$. Отрезок $AM$ является медианой, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $M$ — середина стороны $BC$, поэтому выполняется равенство $BM = MC$.

Свойства медианы:
1. Каждый треугольник имеет три медианы, по одной из каждой вершины.
2. Все три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
3. Точка пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.
4. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих).

Ответ: Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. Биссектриса делит угол, из которого она проведена, на два равных угла.

На рисунке изображен треугольник $ABC$. Отрезок $AL$ является биссектрисой угла $A$. Он делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle BAL = \angle CAL$.

Свойства биссектрисы:
1. Каждый треугольник имеет три биссектрисы.
2. Все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая называется инцентром и является центром вписанной в треугольник окружности.
3. Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника (свойство биссектрисы): $ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $.

Ответ: Биссектриса — это отрезок, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам, соединяющий вершину с противоположной стороной.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

На левом рисунке изображен остроугольный треугольник $ABC$, где высота $AH$, проведенная из вершины $A$, падает на сторону $BC$. Основание высоты $H$ лежит на отрезке $BC$. Угол $AHC$ — прямой ($\angle AHC = 90^\circ$).
На правом рисунке показан тупоугольный треугольник $ABC$ (угол $BCA$ — тупой). Высота $AH$, проведенная из вершины $A$, падает на продолжение стороны $BC$.

Свойства высоты:
1. Каждый треугольник имеет три высоты.
2. В остроугольном треугольнике все три высоты пересекаются внутри треугольника. В тупоугольном треугольнике — вне его. В прямоугольном треугольнике — в вершине прямого угла.
3. Прямые, содержащие три высоты треугольника, пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.
4. В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг для друга.

Ответ: Высота — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, на которой лежит противоположная сторона.