Номер 21, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21. Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников.

Прямоугольные треугольники являются частным случаем обычных треугольников, поэтому для них справедливы все три признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трем сторонам). Однако для прямоугольных треугольников, у которых один угол всегда прямой ($90^\circ$), можно сформулировать более простые признаки равенства, которые являются следствиями общих признаков.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$) и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $C_1$ ($\angle C_1 = 90^\circ$). Стороны $AC$ и $BC$ — катеты, $AB$ — гипотенуза.

По двум катетам

Формулировка: Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:
Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ катет $AC$ равен катету $A_1C_1$, а катет $BC$ равен катету $B_1C_1$.
Поскольку треугольники прямоугольные, то углы между этими катетами равны: $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними одного треугольника, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

По катету и прилежащему острому углу

Формулировка: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:
Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ катет $AC$ равен катету $A_1C_1$, а прилежащий к нему острый угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$.
Угол $\angle C$ является прилежащим к катету $AC$, и $\angle C = 90^\circ$. Аналогично, $\angle C_1$ прилежит к катету $A_1C_1$ и $\angle C_1 = 90^\circ$.
Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AC$, $\angle A$, $\angle C$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($A_1C_1$, $\angle A_1$, $\angle C_1$). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) следует, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Замечание: Признак также верен, если даны катет и противолежащий ему острый угол (например, катет $AC$ и угол $\angle B$). Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то $\angle A = 90^\circ - \angle B$. Если $\angle B = \angle B_1$, то и $\angle A = \angle A_1$. Задача сводится к доказанному выше признаку.

Ответ: Если катет и прилежащий (или противолежащий) к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и соответствующему острому углу другого, то такие треугольники равны.

По гипотенузе и острому углу

Формулировка: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:
Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $A_1B_1$, и острый угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Так как $\angle C = 90^\circ$, то сумма острых углов $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Отсюда $\angle B = 90^\circ - \angle A$.
Аналогично, в $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$.
Поскольку по условию $\angle A = \angle A_1$, то и $\angle B = \angle B_1$.
Теперь мы имеем, что сторона $AB$ и прилежащие к ней углы $\angle A$ и $\angle B$ в $\triangle ABC$ соответственно равны стороне $A_1B_1$ и прилежащим к ней углам $\angle A_1$ и $\angle B_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) следует, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

По гипотенузе и катету

Формулировка: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:
Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $A_1B_1$, а катет $AC$ равен катету $A_1C_1$.
Приложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ к треугольнику $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с $A$, вершина $C_1$ с $C$, а вершины $B$ и $B_1$ оказались по разные стороны от прямой $AC$.
Так как $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle A_1C_1B_1 = \angle ACB_1 = 90^\circ$, то угол $\angle BCB_1 = \angle ACB + \angle ACB_1 = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что точки $B, C, B_1$ лежат на одной прямой.
Рассмотрим получившийся треугольник $\triangle ABB_1$. По построению $AB = A_1B_1 = AB_1$. Следовательно, $\triangle ABB_1$ — равнобедренный с основанием $BB_1$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle B = \angle B_1$.
Теперь вернемся к исходным треугольникам $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы имеем, что у них равны гипотенузы ($AB=A_1B_1$) и по одному острому углу ($\angle B = \angle B_1$). По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (доказанному выше) следует, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.