Номер 27, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

27. Как находится середина отрезка?

Середина отрезка — это точка, которая лежит на этом отрезке и находится на равном расстоянии от его концов, то есть делит отрезок на две равные части. Способ нахождения середины отрезка зависит от того, как задан сам отрезок: координатами его концов или в виде геометрического чертежа.

Аналитический способ (в координатах)

Если отрезок задан координатами своих конечных точек, то координаты его середины вычисляются как среднее арифметическое (полусумма) соответствующих координат концов.

• На числовой прямой (в одном измерении):

  Пусть отрезок задан точками $A(x_A)$ и $B(x_B)$. Координата его середины $C(x_C)$ находится по формуле:

  $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

  Пример: Для отрезка с концами в точках A(-2) и B(8) середина будет в точке C с координатой $x_C = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

• На координатной плоскости (в двух измерениях):

  Пусть отрезок задан точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$. Координаты его середины $C(x_C, y_C)$ находятся по формулам:

  $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

  $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

  Пример: Для отрезка с концами в точках A(1, 5) и B(7, -1) середина будет в точке C с координатами $x_C = \frac{1 + 7}{2} = 4$ и $y_C = \frac{5 + (-1)}{2} = 2$. То есть, C(4, 2).

• В пространстве (в трех измерениях):

  Пусть отрезок задан точками $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$. Координаты его середины $C(x_C, y_C, z_C)$ находятся аналогично:

  $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

  $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

  $z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$

Ответ: Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Геометрический способ (построение с помощью циркуля и линейки)

Если отрезок задан на плоскости в виде чертежа, его середину можно найти с помощью классического построения.

Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1. Установить раствор циркуля на радиус, который заведомо больше половины длины данного отрезка AB.
2. Поставить иглу циркуля в точку A и провести дугу окружности.
3. Не меняя раствора циркуля, поставить его иглу в точку B и провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках (назовем их P и Q).
4. С помощью линейки соединить точки пересечения дуг P и Q прямой линией.
5. Точка C, в которой построенная прямая PQ пересекает исходный отрезок AB, и является его серединой. Эта прямая PQ называется серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Ответ: Середина отрезка находится в точке пересечения данного отрезка и его серединного перпендикуляра, который строится с помощью циркуля и линейки.