Номер 3, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3. Какую фигуру называют четырехугольником? Какова сумма его внутренних углов?

Какую фигуру называют четырехугольником?

Четырехугольником в геометрии называют многоугольник, который состоит из четырех точек (называемых вершинами) и четырех отрезков (называемых сторонами), последовательно соединяющих эти точки. При этом должны выполняться следующие условия:

1. Никакие три вершины не должны лежать на одной прямой.
2. Стороны не должны пересекаться, кроме как в вершинах (такие четырехугольники называют простыми или несамопересекающимися).

Четырехугольники бывают выпуклыми (все внутренние углы меньше $180^\circ$ и все диагонали лежат внутри фигуры) и невыпуклыми или вогнутыми (один из внутренних углов больше $180^\circ$ и одна из диагоналей лежит вне фигуры).

Ниже изображен пример выпуклого четырехугольника ABCD с вершинами A, B, C, D и сторонами AB, BC, CD, DA.

Какова сумма его внутренних углов?

Сумма внутренних углов любого (как выпуклого, так и невыпуклого) четырехугольника всегда равна $360^\circ$. Это можно доказать несколькими способами.

Способ 1: По общей формуле для многоугольников

Сумма внутренних углов $S$ любого простого n-угольника находится по формуле: $S = (n-2) \times 180^\circ$, где $n$ – это количество сторон (и углов) многоугольника. Для четырехугольника $n=4$. Подставим это значение в формулу:

$S = (4-2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$

Способ 2: Путем деления на треугольники

Любой четырехугольник можно разделить на два треугольника, проведя диагональ (отрезок, соединяющий две противолежащие вершины). Например, в четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Она разделит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Сумма внутренних углов любого треугольника, как известно, составляет $180^\circ$. Сумма углов четырехугольника будет равна сумме углов этих двух треугольников:

Сумма углов $ABCD = (\text{сумма углов } \triangle ABC) + (\text{сумма углов } \triangle ADC) = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Этот вывод справедлив для всех простых четырехугольников.

Ответ: Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами. Сумма его внутренних углов всегда составляет $360^\circ$.