Номер 10, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Что такое средняя линия треугольника? Докажите ее свойства.

Что такое средняя линия треугольника?

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

У любого треугольника есть три средние линии. На рисунке ниже показан треугольник $ABC$, в котором точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $MN$ — это средняя линия треугольника $ABC$.

Докажите ее свойства.

Основное свойство средней линии треугольника формулируется в виде теоремы.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Для средней линии $MN$ в треугольнике $ABC$ (см. рисунки) необходимо доказать два факта:

1. Параллельность: $MN \parallel AC$.

2. Длина: $MN = \frac{1}{2}AC$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $MN$ — средняя линия. Для доказательства теоремы выполним дополнительное построение.

1. Продлим отрезок $MN$ за точку $N$ на его же длину, отложив отрезок $NP$ так, что $MN = NP$. Соединим точки $P$ и $C$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle PCN$. В них:

• $BN = NC$ (по определению средней линии, $N$ — середина $BC$).

• $MN = NP$ (по построению).

• $\angle MNB = \angle PNC$ (как вертикальные углы).

Таким образом, $\triangle MBN = \triangle PCN$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников следует, что равны их соответствующие элементы: $MB = PC$ и $\angle BMN = \angle CPN$.

4. По определению средней линии, $M$ — середина стороны $AB$, значит $AM = MB$. Так как мы доказали, что $MB = PC$, то получаем $AM = PC$.

5. Углы $\angle BMN$ и $\angle CPN$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $PC$ и секущей $MP$. Поскольку эти углы равны, то прямые $AB$ и $PC$ параллельны ($AB \parallel PC$). Следовательно, отрезок $AM$, лежащий на прямой $AB$, также параллелен отрезку $PC$.

6. Теперь рассмотрим четырехугольник $AMPC$. Его противоположные стороны $AM$ и $PC$ равны ($AM = PC$) и параллельны ($AM \parallel PC$). По признаку параллелограмма (если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны), $AMPC$ является параллелограммом.

7. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Значит, для $AMPC$ верны следующие утверждения:

• $MP \parallel AC$. Отрезок $MN$ является частью отрезка $MP$, следовательно, $MN \parallel AC$. Первое свойство доказано.

• $MP = AC$. По нашему построению, $MP = MN + NP$. Так как $MN=NP$, то $MP = 2MN$. Следовательно, $AC = 2MN$, откуда получаем $MN = \frac{1}{2}AC$. Второе свойство доказано.

Теорема полностью доказана.

Ответ: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Свойства средней линии заключаются в том, что она параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине.