Страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. Что такое ромб, квадрат? Каковы их свойства?

Ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Поскольку ромб является параллелограммом, он обладает всеми свойствами параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллельны ($AB || CD$, $BC || AD$).

2. Противоположные углы равны ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$).

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B = 180^\circ$).

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Кроме того, ромб обладает собственными, уникальными свойствами:

5. Все стороны ромба равны ($AB = BC = CD = DA$).

6. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$).

7. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (делят углы пополам).

Формулы для ромба:

Площадь: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ – длины диагоналей.

Площадь: $S = a^2 \cdot \sin \alpha$, где $a$ – сторона, $\alpha$ – угол между сторонами.

Периметр: $P = 4a$.

Ответ: Ромб — это параллелограмм с равными сторонами. Его ключевые свойства: все стороны равны, диагонали перпендикулярны, делят углы пополам и в точке пересечения делятся пополам.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Также квадрат можно определить как ромб, у которого все углы прямые. Квадрат является частным случаем и прямоугольника, и ромба, поэтому обладает всеми их свойствами.

Свойства квадрата:

1. Все стороны квадрата равны.

2. Все углы квадрата прямые (равны $90^\circ$).

3. Противоположные стороны параллельны.

4. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов (делят их на углы по $45^\circ$).

Формулы для квадрата:

Периметр: $P = 4a$, где $a$ – сторона квадрата.

Площадь: $S = a^2$.

Площадь: $S = \frac{1}{2} d^2$, где $d$ – диагональ квадрата.

Длина диагонали: $d = a\sqrt{2}$.

Ответ: Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые ($90^\circ$). Он сочетает в себе свойства прямоугольника и ромба: его диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам в точке пересечения и являются биссектрисами углов.

9. Докажите теорему Фалеса.

Теорема Фалеса имеет две основные формулировки: простую (или прямую) и обобщенную. Докажем обе.

Простая (прямая) теорема Фалеса

Формулировка: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки.

Дано: Две прямые $a$ и $b$. Параллельные прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямую $a$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и прямую $b$ в точках $B_1, B_2, B_3$ соответственно, так что $l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$. На прямой $a$ отрезки $A_1A_2$ и $A_2A_3$ равны: $A_1A_2 = A_2A_3$.

Доказать: $B_1B_2 = B_2B_3$.

Доказательство:

1. Проведем через точку $B_2$ прямую $c$, параллельную прямой $a$. Пусть она пересекает прямые $l_1$ и $l_3$ в точках $C$ и $D$ соответственно.
2. Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2B_2C$. В нем стороны $A_1A_2$ и $CB_2$ параллельны по построению ($c \parallel a$), а стороны $A_1C$ и $A_2B_2$ параллельны по условию ($l_1 \parallel l_2$). Следовательно, $A_1A_2B_2C$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, $A_1A_2 = CB_2$.
3. Аналогично рассмотрим четырехугольник $A_2A_3DB_2$. В нем $A_2A_3 \parallel B_2D$ (по построению) и $A_2B_2 \parallel A_3D$ (по условию $l_2 \parallel l_3$). Следовательно, $A_2A_3DB_2$ — параллелограмм. Отсюда, $A_2A_3 = B_2D$.
4. По условию теоремы $A_1A_2 = A_2A_3$. Из равенств, полученных в пунктах 2 и 3, следует, что $CB_2 = B_2D$.
5. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle B_1CB_2$ и $\triangle B_3DB_2$.

• $CB_2 = B_2D$ (доказано в п. 4).
• $\angle B_1B_2C = \angle B_3B_2D$ (как вертикальные углы).
• $\angle CB_1B_2 = \angle DB_3B_2$ (как соответственные углы при параллельных прямых $l_1$ и $l_3$ и секущей $b$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямая теорема Фалеса доказана.

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках)

Формулировка: Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. В более общей форме: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.

Дано: Две прямые $a$ и $b$. Параллельные прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямую $a$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и прямую $b$ в точках $B_1, B_2, B_3$ соответственно ($l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$).

Доказать: $\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_2A_3}{B_2B_3}$ (или эквивалентная форма $\frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3}$).

Доказательство:

Рассмотрим общий случай, когда прямые $a$ и $b$ не параллельны. (Если $a \parallel b$, то $A_1A_2B_2B_1$ и $A_2A_3B_3B_2$ — параллелограммы, откуда $A_1A_2 = B_1B_2$ и $A_2A_3 = B_2B_3$, и равенство пропорций очевидно).

1. Проведем через точку $A_1$ прямую $c$, параллельную прямой $b$. Пусть прямая $c$ пересекает прямые $l_2$ и $l_3$ в точках $D_2$ и $D_3$ соответственно.
2. Рассмотрим угол с вершиной в точке $A_1$, образованный прямыми $a$ и $c$. Параллельные прямые $l_2$ и $l_3$ пересекают стороны этого угла. Таким образом, прямая $A_2D_2$ параллельна прямой $A_3D_3$ (так как обе лежат на параллельных прямых $l_2$ и $l_3$).
3. Треугольники $\triangle A_1A_2D_2$ и $\triangle A_1A_3D_3$ подобны по двум углам (угол при вершине $A_1$ общий, а углы $\angle A_1A_2D_2$ и $\angle A_1A_3D_3$ равны как соответственные при параллельных $l_2, l_3$ и секущей $a$).
4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $\frac{A_1A_2}{A_1A_3} = \frac{A_1D_2}{A_1D_3}$.
5. Используя свойство пропорций ($ \frac{x}{y} = \frac{z}{w} \Rightarrow \frac{x}{y-x} = \frac{z}{w-z} $), получаем: $\frac{A_1A_2}{A_1A_3 - A_1A_2} = \frac{A_1D_2}{A_1D_3 - A_1D_2}$.Это преобразуется в: $\frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{A_1D_2}{D_2D_3}$.
6. Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1B_2D_2$. По построению $A_1D_2 \parallel B_1B_2$ (так как $c \parallel b$). По условию $A_1B_1 \parallel D_2B_2$ (так как они лежат на параллельных прямых $l_1$ и $l_2$). Значит, $A_1B_1B_2D_2$ — параллелограмм. Отсюда $A_1D_2 = B_1B_2$.
7. Рассмотрим четырехугольник $D_2B_2B_3D_3$. По построению $D_2D_3 \parallel B_2B_3$ (так как $c \parallel b$). По условию $D_2B_2 \parallel D_3B_3$ (так как они лежат на параллельных прямых $l_2$ и $l_3$). Значит, $D_2B_2B_3D_3$ — параллелограмм. Отсюда $D_2D_3 = B_2B_3$.
8. Подставим выражения для $A_1D_2$ и $D_2D_3$ из пунктов 6 и 7 в пропорцию, полученную в пункте 5:
$\frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Обобщенная теорема Фалеса доказана.

10. Что такое средняя линия треугольника? Докажите ее свойства.

Что такое средняя линия треугольника?

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

У любого треугольника есть три средние линии. На рисунке ниже показан треугольник $ABC$, в котором точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $MN$ — это средняя линия треугольника $ABC$.

Докажите ее свойства.

Основное свойство средней линии треугольника формулируется в виде теоремы.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Для средней линии $MN$ в треугольнике $ABC$ (см. рисунки) необходимо доказать два факта:

1. Параллельность: $MN \parallel AC$.

2. Длина: $MN = \frac{1}{2}AC$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $MN$ — средняя линия. Для доказательства теоремы выполним дополнительное построение.

1. Продлим отрезок $MN$ за точку $N$ на его же длину, отложив отрезок $NP$ так, что $MN = NP$. Соединим точки $P$ и $C$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle PCN$. В них:

• $BN = NC$ (по определению средней линии, $N$ — середина $BC$).

• $MN = NP$ (по построению).

• $\angle MNB = \angle PNC$ (как вертикальные углы).

Таким образом, $\triangle MBN = \triangle PCN$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников следует, что равны их соответствующие элементы: $MB = PC$ и $\angle BMN = \angle CPN$.

4. По определению средней линии, $M$ — середина стороны $AB$, значит $AM = MB$. Так как мы доказали, что $MB = PC$, то получаем $AM = PC$.

5. Углы $\angle BMN$ и $\angle CPN$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $PC$ и секущей $MP$. Поскольку эти углы равны, то прямые $AB$ и $PC$ параллельны ($AB \parallel PC$). Следовательно, отрезок $AM$, лежащий на прямой $AB$, также параллелен отрезку $PC$.

6. Теперь рассмотрим четырехугольник $AMPC$. Его противоположные стороны $AM$ и $PC$ равны ($AM = PC$) и параллельны ($AM \parallel PC$). По признаку параллелограмма (если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны), $AMPC$ является параллелограммом.

7. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Значит, для $AMPC$ верны следующие утверждения:

• $MP \parallel AC$. Отрезок $MN$ является частью отрезка $MP$, следовательно, $MN \parallel AC$. Первое свойство доказано.

• $MP = AC$. По нашему построению, $MP = MN + NP$. Так как $MN=NP$, то $MP = 2MN$. Следовательно, $AC = 2MN$, откуда получаем $MN = \frac{1}{2}AC$. Второе свойство доказано.

Теорема полностью доказана.

Ответ: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Свойства средней линии заключаются в том, что она параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине.

11. Что такое трапеция, равнобокая трапеция, прямоугольная трапеция?

трапецияТрапецией называется четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции (на рисунке это AB и DC), а две другие стороны — боковыми сторонами (AD и BC). Высотой трапеции является перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к другому основанию или его продолжению.
Ответ: Трапеция — это четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.

равнобокая трапецияРавнобокой (или равнобедренной) трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны. На рисунке это стороны AD и BC. У равнобокой трапеции есть несколько важных свойств:
1. Углы при каждом основании равны. То есть, $\angle D = \angle C$ и $\angle A = \angle B$.
2. Диагонали равнобокой трапеции равны.
Ответ: Равнобокая трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны имеют одинаковую длину.

прямоугольная трапецияПрямоугольной трапецией называется трапеция, один из углов которой является прямым. Поскольку основания трапеции параллельны, то у такой трапеции всегда два прямых угла, прилежащих к одной из боковых сторон. Эта боковая сторона (на рисунке AD) перпендикулярна основаниям (AB и DC) и является высотой трапеции.
Ответ: Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

12. Докажите теорему о средней линии трапеции.

Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Дано:
ABCD — трапеция.
AD и BC — основания, причём AD || BC.
AB и CD — боковые стороны.
MN — средняя линия, где M — середина стороны AB, а N — середина стороны CD.

Доказать:
1. MN || AD и MN || BC.
2. $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Доказательство:

Выполним дополнительное построение. Проведём прямую через вершины B и N до пересечения с продолжением основания AD. Точку их пересечения обозначим P.

1. Рассмотрим треугольники $ΔBCN$ и $ΔPDN$.
- $CN = ND$ по условию, так как N — середина стороны CD.
- $∠BNC = ∠PND$ как вертикальные углы.
- $BC \parallel AP$ (так как $BC \parallel AD$ по определению трапеции), поэтому $∠BCN = ∠PDN$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AP и секущей CD.
Следовательно, $ΔBCN = ΔPDN$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $BC = PD$ и $BN = NP$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ΔABP$.
- M — середина стороны AB (по условию).
- N — середина стороны BP (так как $BN = NP$ по доказанному).
Таким образом, отрезок MN является средней линией треугольника $ΔABP$.

4. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит:
- MN || AP. Так как прямая AP содержит основание AD, то MN || AD. Поскольку AD || BC, то и MN || BC. Первая часть теоремы доказана.
- $MN = \frac{1}{2} AP$.

5. Длина отрезка AP равна сумме длин отрезков AD и DP: $AP = AD + DP$.

6. Заменим в этом равенстве отрезок DP на равный ему отрезок BC (из п. 2): $AP = AD + BC$.

7. Подставим полученное выражение для AP в формулу для длины MN: $MN = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{AD + BC}{2}$. Вторая часть теоремы доказана.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям, а её длина вычисляется по формуле $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

13. Что такое замечательные точки треугольника?

Замечательные точки треугольника – это точки, положение которых однозначно определяется самим треугольником и которые обладают рядом уникальных и важных геометрических свойств. К классическим замечательным точкам относятся четыре: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров и точка пересечения высот.

Точка пересечения медиан (центроид)

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В любом треугольнике все три медианы пересекаются в одной точке. Эта точка называется центроидом или центром масс треугольника.
Свойство центроида: он делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Центроид всегда находится внутри треугольника.

Ответ: Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом. Она является центром масс треугольника и делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

Точка пересечения биссектрис (инцентр)

Биссектриса угла треугольника – это отрезок, делящий угол на два равных угла. Три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, которая называется инцентром.
Свойство инцентра: он является центром окружности, вписанной в треугольник (инцентр равноудален от всех сторон треугольника). Инцентр всегда находится внутри треугольника.

Ответ: Точка пересечения биссектрис углов треугольника называется инцентром. Она является центром вписанной в треугольник окружности.

Точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности)

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника – это прямая, проходящая через середину стороны и перпендикулярная ей. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром окружности, описанной около треугольника.
Свойство этой точки: она равноудалена от всех трех вершин треугольника. Её положение зависит от типа треугольника:
- В остроугольном треугольнике – внутри треугольника.
- В прямоугольном треугольнике – на середине гипотенузы.
- В тупоугольном треугольнике – вне треугольника.

Ответ: Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной около него окружности.

Точка пересечения высот (ортоцентр)

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или на её продолжение). Три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
Положение ортоцентра также зависит от типа треугольника:
- В остроугольном треугольнике – внутри треугольника.
- В прямоугольном треугольнике – в вершине прямого угла.
- В тупоугольном треугольнике – вне треугольника.

Ответ: Точка пересечения высот (или их продолжений) треугольника называется ортоцентром.

Существуют и другие замечательные точки (например, точки Торричелли, точка Жергонна, точка Нагеля), но перечисленные четыре являются наиболее известными. Примечательно, что в любом треугольнике (кроме равностороннего) ортоцентр, центроид и центр описанной окружности лежат на одной прямой, которая называется прямой Эйлера.

14. Докажите, что можно описать около треугольника окружность и вписать в треугольник окружность.

Доказательство существования описанной окружности

Чтобы доказать, что около любого треугольника можно описать окружность, нужно доказать существование точки, равноудаленной от всех трех его вершин. Эта точка будет центром описанной окружности.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (например, $A$ и $B$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок $AB$). Обозначим этот серединный перпендикуляр как $m$. Любая точка на $m$ равноудалена от $A$ и $B$.

2. Аналогично, построим серединный перпендикуляр $n$ к стороне $BC$. Любая точка на $n$ равноудалена от $B$ и $C$.

3. Прямые $m$ и $n$ пересекаются. Это следует из того, что они перпендикулярны сторонам $AB$ и $BC$ соответственно. Если бы прямые $m$ и $n$ были параллельны, то и прямые $AB$ и $BC$ были бы параллельны или совпадали. Но это невозможно, так как $A, B, C$ — вершины треугольника и не лежат на одной прямой. Следовательно, серединные перпендикуляры $m$ и $n$ пересекаются в некоторой точке $O$.

4. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m$ к стороне $AB$, то она равноудалена от вершин $A$ и $B$, то есть $OA = OB$.

5. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $n$ к стороне $BC$, то она равноудалена от вершин $B$ и $C$, то есть $OB = OC$.

6. Из равенств $OA = OB$ и $OB = OC$ следует, что $OA = OC$. Это означает, что точка $O$ также равноудалена от вершин $A$ и $C$. Следовательно, точка $O$ лежит и на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

7. Таким образом, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке $O$. Эта точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника: $OA = OB = OC$. Обозначим это расстояние как $R$.

8. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ пройдет через все три вершины треугольника $A$, $B$ и $C$. Эта окружность и является описанной около треугольника $ABC$. Так как точка пересечения двух непараллельных прямых единственна, то и центр описанной окружности единственен.

Ответ: Таким образом, доказано, что точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром окружности, проходящей через все три его вершины, следовательно, около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство существования вписанной окружности

Чтобы доказать, что в любой треугольник можно вписать окружность, нужно доказать существование точки, равноудаленной от всех трех его сторон. Эта точка будет центром вписанной окружности.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (например, сторон $AB$ и $AC$), есть биссектриса угла, образованного этими прямыми. Рассмотрим биссектрису угла $A$. Любая точка на этой биссектрисе равноудалена от сторон $AB$ и $AC$.

2. Аналогично, построим биссектрису угла $B$. Любая точка на этой биссектрисе равноудалена от сторон $BA$ и $BC$.

3. Биссектрисы двух углов треугольника (например, $\angle A$ и $\angle B$) всегда пересекаются внутри треугольника, так как сумма половин этих углов $(\angle A + \angle B) / 2$ всегда меньше $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Обозначим точку их пересечения как $I$.

4. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $A$, то она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Если $IR$ и $IQ$ — перпендикуляры, опущенные из точки $I$ на стороны $AB$ и $AC$ соответственно, то $IR = IQ$.

5. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $B$, то она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$. Если $IP$ — перпендикуляр, опущенный из точки $I$ на сторону $BC$, то $IR = IP$.

6. Из равенств $IR = IQ$ и $IR = IP$ следует, что $IQ = IP$. Это означает, что точка $I$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$, а значит, она лежит на биссектрисе угла $C$.

7. Таким образом, все три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке $I$. Эта точка $I$ равноудалена от всех трех сторон треугольника: $IP = IQ = IR$. Обозначим это расстояние как $r$.

8. Окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r$ будет касаться всех трех сторон треугольника в точках $P, Q, R$ (так как радиусы, проведенные в эти точки, перпендикулярны сторонам). Эта окружность и является вписанной в треугольник $ABC$. Ее центр $I$ и радиус $r$ определяются однозначно.

Ответ: Таким образом, доказано, что точка пересечения биссектрис углов треугольника является центром окружности, касающейся всех трех его сторон, следовательно, в любой треугольник можно вписать окружность.

15. Какие свойства вписанных и описанных четырехугольников вы знаете?

Свойства вписанных четырехугольников

Четырехугольник называется вписанным в окружность (или циклическим), если все его вершины лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной около четырехугольника.

Основное свойство (критерий вписанности):
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.
Для вписанного четырехугольника $ABCD$ справедливы равенства:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Другие важные свойства:
1. Теорема Птолемея: Произведение длин диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений длин его противолежащих сторон. Если $a, b, c, d$ – стороны, а $d_1, d_2$ – диагонали, то $d_1 \cdot d_2 = a \cdot c + b \cdot d$.
2. Формула Брахмагупты для площади: Площадь $S$ вписанного четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$ и полупериметром $p = \frac{a+b+c+d}{2}$ вычисляется по формуле:
$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$.

Ответ: Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Также для него справедливы теорема Птолемея, связывающая стороны и диагонали, и формула Брахмагупты для вычисления площади.

Свойства описанных четырехугольников

Четырехугольник называется описанным около окружности (или тангенциальным), если все его стороны касаются одной окружности. Эта окружность называется вписанной в четырехугольник.

Основное свойство (критерий описанности, теорема Пи́то):
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.
Для описанного четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$, взятыми последовательно, справедливо равенство:
$a + c = b + d$

Другие важные свойства:
1. Центр вписанной окружности: Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырехугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
2. Формула для площади: Площадь $S$ описанного четырехугольника равна произведению его полупериметра $p = \frac{a+b+c+d}{2}$ на радиус $r$ вписанной окружности:
$S = p \cdot r$.

Ответ: Основное свойство описанного четырехугольника (теорема Пито) заключается в том, что суммы длин его противолежащих сторон равны ($a+c=b+d$). Его площадь можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности ($S=p \cdot r$), а центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис его углов.

16. Как определяется косинус острого угла?

Косинус острого угла определяется через соотношение сторон в прямоугольном треугольнике.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, изображенный на рисунке. Пусть острый угол при вершине A равен $ \alpha $.

В этом треугольнике сторонами являются:

– Сторона AC (обозначена как b) является одной из сторон угла $ \alpha $. Она называется прилежащим катетом.

– Сторона BC (обозначена как a) лежит напротив угла $ \alpha $. Она называется противолежащим катетом.

– Сторона AB (обозначена как c) лежит напротив прямого угла C. Она является самой длинной стороной и называется гипотенузой.

Косинусом острого угла $ \alpha $ в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.

Это определение можно записать в виде формулы:

$ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

Применительно к треугольнику ABC, изображенному на рисунке, формула для косинуса угла A ($ \alpha $) будет выглядеть так:

$ \cos(A) = \cos(\alpha) = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c} $

Важно отметить, что значение косинуса зависит только от величины угла и не зависит от размеров треугольника. Поскольку для острого угла в прямоугольном треугольнике прилежащий катет всегда короче гипотенузы, значение косинуса острого угла всегда больше 0 и меньше 1.

Ответ: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

17. Докажите теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Существует множество способов ее доказательства. Приведем одно из наиболее наглядных, основанное на вычислении площадей.

Формулировка теоремы

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Если катеты прямоугольного треугольника имеют длины $a$ и $b$, а гипотенуза имеет длину $c$, то теорему можно записать в виде формулы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Доказательство

Для доказательства рассмотрим следующую геометрическую конструкцию.

1. Построение. Возьмем четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Расположим их так, чтобы они образовали большой квадрат. Внешняя сторона этого большого квадрата будет равна сумме катетов $a + b$. Внутри большого квадрата образуется малый четырехугольник.

2. Анализ фигур.

• Внешний квадрат: Его сторона равна $a+b$, следовательно, его площадь $S_{общ}$ равна $(a+b)^2$. Раскрыв скобки, получаем: $S_{общ} = a^2 + 2ab + b^2$.
• Внутренний четырехугольник: Его стороны являются гипотенузами исходных треугольников, поэтому все они равны $c$. Это ромб. Чтобы доказать, что это квадрат, нужно показать, что его углы прямые. Каждый угол этого четырехугольника (например, у верхней вершины) дополняет два острых угла прямоугольного треугольника (обозначим их $\alpha$ и $\beta$) до развернутого угла (180°). Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов $\alpha + \beta = 90°$, то угол внутреннего четырехугольника равен $180° - (\alpha + \beta) = 180° - 90° = 90°$. Таким образом, внутренний четырехугольник является квадратом со стороной $c$. Его площадь $S_{вн}$ равна $c^2$.
• Четыре треугольника: Каждый из них является прямоугольным треугольником с катетами $a$ и $b$. Площадь одного такого треугольника $S_{\triangle}$ равна $\frac{1}{2}ab$. Суммарная площадь четырех треугольников равна $4 \times (\frac{1}{2}ab) = 2ab$.

3. Вычисление площади. Площадь большого квадрата можно представить как сумму площадей четырех треугольников и площади внутреннего квадрата:

$S_{общ} = 4 \cdot S_{\triangle} + S_{вн}$

$S_{общ} = 2ab + c^2$

4. Завершение доказательства. Мы получили два разных выражения для площади одного и того же большого квадрата. Приравняем их:

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

Вычтем $2ab$ из обеих частей равенства:

$a^2 + b^2 = c^2$

Равенство доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$ выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$, доказана.

18. Что такое косинус, синус, тангенс острого угла?

Косинус, синус и тангенс острого угла — это тригонометрические функции, которые определяются как отношения длин сторон в прямоугольном треугольнике. Для определения этих понятий рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть острый угол при вершине A равен $ \alpha $.

В этом треугольнике по отношению к углу $ \alpha $: сторона BC называется противолежащим катетом (ее длина обозначается как $a$), сторона AC — прилежащим катетом (длина $b$), а сторона AB — гипотенузой (длина $c$).

Косинус

Косинусом острого угла $ \alpha $ в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.

Формула для вычисления: $ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} $.

Ответ: Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Синус

Синусом острого угла $ \alpha $ в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы.

Формула для вычисления: $ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} $.

Ответ: Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Тангенс

Тангенсом острого угла $ \alpha $ в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Формула для вычисления: $ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} $. Также тангенс можно выразить через синус и косинус: $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

Ответ: Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

19. Определите связь между тригонометрическими функциями прямоугольного треугольника.

Связь между тригонометрическими функциями в прямоугольном треугольнике определяется через соотношения его сторон и углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Обозначим катеты, противолежащие углам A и B, как a и b соответственно, а гипотенузу — как c. Острые углы при вершинах A и B обозначим как $\alpha$ и $\beta$.

Основные тригонометрические функции для угла $\alpha$ определяются так:

Синус: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

Косинус: $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

Тангенс: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему)

Котангенс: $\cot(\alpha) = \frac{b}{a}$ (отношение прилежащего катета к противолежащему)

На основе этих определений и теоремы Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) выводятся основные тригонометрические тождества, которые и описывают связь между функциями.

Основные тригонометрические тождества

Эти тождества верны для любого угла и связывают разные тригонометрические функции между собой.

1. Связь тангенса с синусом и косинусом:$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Доказательство: $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} = \tan(\alpha)$.

2. Связь котангенса с синусом и косинусом:$\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
Доказательство: $\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{b/c}{a/c} = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{b}{a} = \cot(\alpha)$.

3. Связь тангенса и котангенса:$\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1$.
Доказательство: $\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$.

4. Основное тригонометрическое тождество (следствие теоремы Пифагора):$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Доказательство: По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Разделим обе части на $c^2$: $\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1$. Это можно переписать как $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = 1$, что соответствует $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

5. Связь тангенса и косинуса:$1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.
Доказательство: Разделим основное тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ на $\cos^2(\alpha)$: $\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + \frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$, что дает $\tan^2(\alpha) + 1 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.

6. Связь котангенса и синуса:$1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.
Доказательство: Разделим основное тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ на $\sin^2(\alpha)$: $\frac{\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} + \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$, что дает $1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.

Ответ: Связи между тригонометрическими функциями выражаются основными тождествами: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$; $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$; $\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1$; $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$; $1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$; $1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.

Связь функций для двух острых углов треугольника (формулы приведения)

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 90^\circ$ или $\beta = 90^\circ - \alpha$. Это приводит к связям между функциями этих двух углов.

Рассмотрим функции для угла $\beta$:

$\sin(\beta) = \frac{b}{c}$ (противолежащий катет b к гипотенузе c)

$\cos(\beta) = \frac{a}{c}$ (прилежащий катет a к гипотенузе c)

Сравнивая их с функциями для угла $\alpha$, получаем:

$\sin(\beta) = \frac{b}{c} = \cos(\alpha)$

$\cos(\beta) = \frac{a}{c} = \sin(\alpha)$

Аналогично для тангенса и котангенса:

$\tan(\beta) = \frac{b}{a} = \cot(\alpha)$

$\cot(\beta) = \frac{a}{b} = \tan(\alpha)$

Подставляя $\beta = 90^\circ - \alpha$, получаем формулы приведения для острого угла:

$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$

$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$

$\tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha)$

$\cot(90^\circ - \alpha) = \tan(\alpha)$

Ответ: Синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, а тангенс одного острого угла равен котангенсу другого. Математически: $\sin(\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha)$, $\cos(\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha)$, $\tan(\alpha) = \cot(90^\circ - \alpha)$, $\cot(\alpha) = \tan(90^\circ - \alpha)$.

20. Каковы значения синуса, косинуса и тангенса для некоторых углов?

Значения синуса, косинуса и тангенса для некоторых основных углов являются фундаментальными в тригонометрии. Их можно найти, используя единичную окружность или рассматривая прямоугольные треугольники с определенными углами. Ниже приведены значения для наиболее часто используемых углов.

Для угла 0° (0 радиан)

Рассмотрим точку на единичной окружности, соответствующую углу 0°. Координаты этой точки $(1, 0)$. По определению, косинус угла — это абсцисса (координата x), а синус — это ордината (координата y).

Синус: $\sin(0^\circ) = 0$

Косинус: $\cos(0^\circ) = 1$

Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

Тангенс: $\tan(0^\circ) = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $\sin(0^\circ) = 0$, $\cos(0^\circ) = 1$, $\tan(0^\circ) = 0$.

Для угла 30° ($\frac{\pi}{6}$ радиан)

Для нахождения значений для угла 30° можно использовать прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°. В таком треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Пусть этот катет равен 1, тогда гипотенуза равна 2. По теореме Пифагора, второй катет равен $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.

Синус (отношение противолежащего катета к гипотенузе): $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Косинус (отношение прилежащего катета к гипотенузе): $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему): $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для угла 45° ($\frac{\pi}{4}$ радиан)

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с углами 45°, 45° и 90°. Катеты такого треугольника равны. Пусть катеты равны 1. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Синус: $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Косинус: $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Тангенс: $\tan(45^\circ) = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(45^\circ) = 1$.

Для угла 60° ($\frac{\pi}{3}$ радиан)

Используем тот же прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°, что и для угла 30°. Теперь нас интересует угол 60°. Катет, противолежащий этому углу, равен $\sqrt{3}$, прилежащий катет равен 1, а гипотенуза равна 2.

Синус: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Косинус: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Тангенс: $\tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Для угла 90° ($\frac{\pi}{2}$ радиан)

Вернемся к единичной окружности. Точка, соответствующая углу 90°, имеет координаты $(0, 1)$.

Синус: $\sin(90^\circ) = 1$

Косинус: $\cos(90^\circ) = 0$

Тангенс: $\tan(90^\circ) = \frac{1}{0}$. Деление на ноль не определено, поэтому тангенс 90° не существует.

Ответ: $\sin(90^\circ) = 1$, $\cos(90^\circ) = 0$, $\tan(90^\circ)$ не существует.

Для удобства значения тригонометрических функций для основных углов часто сводят в таблицу.

21. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Для доказательства утверждения рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол при вершине $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$). Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на гипотенузу $AB$.

Введем обозначения: катеты $AC = b$ и $BC = a$, гипотенуза $AB = c$. Отрезок $AH$ является проекцией катета $b$ на гипотенузу, его длина $AH = b_c$. Соответственно, $BH$ — проекция катета $a$, и $BH = a_c$.

Требуется доказать, что катет является средним геометрическим для гипотенузы и своей проекции на гипотенузу. Для катета $b$ это означает, что $b = \sqrt{c \cdot b_c}$. Докажем эквивалентное утверждение: $b^2 = c \cdot b_c$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ и треугольник $\triangle ACH$. Эти треугольники подобны, так как у них есть два равных угла:

1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.

2. Угол $\angle ACB = 90^\circ$ (по условию, так как $\triangle ABC$ — прямоугольный) и угол $\angle AHC = 90^\circ$ (по построению, так как $CH$ — высота).

Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle ACH$ по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что отношения их соответственных сторон равны. В $\triangle ABC$ гипотенузой является сторона $AB$ (длиной $c$), а катетом, прилежащим к углу $A$, — сторона $AC$ (длиной $b$). В подобном ему $\triangle ACH$ гипотенузой является сторона $AC$ (длиной $b$), а катетом, прилежащим к общему углу $A$, — сторона $AH$ (длиной $b_c$).

Составим пропорцию, приравнивая отношения гипотенуз к отношениям катетов, прилежащих к углу $A$:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AH}$

Подставим введенные буквенные обозначения длин сторон:

$\frac{c}{b} = \frac{b}{b_c}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$b^2 = c \cdot b_c$

Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, приходим к исходному утверждению:

$b = \sqrt{c \cdot b_c}$

Доказательство для второго катета $a$ и его проекции $a_c$ проводится полностью аналогично. Рассматриваются подобные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CBH$ (у них общий угол $\angle B$ и прямые углы $\angle ACB$ и $\angle CHB$), из подобия которых следует $a^2 = c \cdot a_c$.

Таким образом, утверждение доказано: катет прямоугольного треугольника является средним геометрическим гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Ответ: Утверждение доказано. Для катета $k$, гипотенузы $c$ и проекции этого катета на гипотенузу $k_c$ справедливо равенство $k^2 = c \cdot k_c$, что эквивалентно $k = \sqrt{c \cdot k_c}$.

22. Какие свойства высоты, опущенной из прямого угла на гипотенузу, вы знаете? Докажите их.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть $AC = b$ и $BC = a$ — катеты, а $AB = c$ — гипотенуза. Проведем из вершины $C$ на гипотенузу $AB$ высоту $CH$, длина которой равна $h$. Точка $H$ делит гипотенузу на два отрезка: $AH$ и $BH$. Отрезок $AH$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу, обозначим его $b_c$. Отрезок $BH$ является проекцией катета $BC$ на гипотенузу, обозначим его $a_c$. Таким образом, $c = a_c + b_c$.

Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, обладает несколькими важными свойствами, которые также называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Свойство 1: Высота как среднее пропорциональное

Высота, опущенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное (или среднее геометрическое) для проекций катетов на гипотенузу.
Формула: $h^2 = a_c \cdot b_c$.

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$.
1. $\angle AHC = \angle CHB = 90^\circ$, так как $CH$ — высота.
2. Пусть $\angle CAB = \alpha$. Тогда в большом треугольнике $\triangle ABC$, $\angle CBA = 90^\circ - \alpha$.
3. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACH$, $\angle ACH = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - \alpha$.
4. В прямоугольном треугольнике $\triangle CBH$, $\angle BCH = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.
Таким образом, в $\triangle ACH$ углы равны $\alpha$, $90^\circ$ и $90^\circ - \alpha$.
В $\triangle CBH$ углы равны $90^\circ - \alpha$, $90^\circ$ и $\alpha$.
Следовательно, треугольники подобны по двум углам: $\triangle ACH \sim \triangle CBH$.
Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH}$
Подставляя наши обозначения, получаем:
$\frac{b_c}{h} = \frac{h}{a_c}$
Из этой пропорции следует: $h \cdot h = a_c \cdot b_c$, или $h^2 = a_c \cdot b_c$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: $h^2 = a_c \cdot b_c$.

Свойство 2: Катет как среднее пропорциональное

Каждый катет есть среднее пропорциональное для гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Формулы: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.

Доказательство:
а) Докажем для катета $a$. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle CBH$.
1. $\angle ACB = 90^\circ$ (по условию), $\angle CHB = 90^\circ$ (так как $CH$ — высота).
2. $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle CBH$ по двум углам.
Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{BC}{AB} = \frac{BH}{CB}$
Подставляя наши обозначения, получаем:
$\frac{a}{c} = \frac{a_c}{a}$
Отсюда $a^2 = c \cdot a_c$.

б) Докажем для катета $b$. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle ACH$.
1. $\angle ACB = 90^\circ$ (по условию), $\angle AHC = 90^\circ$ (так как $CH$ — высота).
2. $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle ACH$ по двум углам.
Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}$
Подставляя наши обозначения, получаем:
$\frac{b}{c} = \frac{b_c}{b}$
Отсюда $b^2 = c \cdot b_c$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.

Свойство 3: Выражение высоты через стороны треугольника

Произведение высоты, опущенной на гипотенузу, на гипотенузу равно произведению катетов.
Формула: $h \cdot c = a \cdot b$.

Доказательство:
Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.
1. Вычислим площадь $\triangle ABC$, приняв за основание катет $AC=b$. Тогда высотой будет катет $BC=a$.
$S = \frac{1}{2} b \cdot a$
2. Теперь вычислим площадь того же треугольника, приняв за основание гипотенузу $AB=c$. Тогда высотой будет $CH=h$.
$S = \frac{1}{2} c \cdot h$
Так как площадь треугольника — величина постоянная, мы можем приравнять эти два выражения:
$\frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h$
Умножив обе части равенства на 2, получим:
$a \cdot b = c \cdot h$
Что и требовалось доказать.
Ответ: $h \cdot c = a \cdot b$.

23. Докажите теорему Стюарта.

Теорема Стюарта устанавливает связь между длинами сторон треугольника и длиной чевианы, проведенной к одной из сторон.

Формулировка теоремы:

Пусть в треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=c$, $AC=b$ и $BC=a$ проведена чевиана $AP=d$ к стороне $BC$. Точка $P$ делит сторону $BC$ на отрезки $BP=m$ и $PC=n$, так что $a=m+n$. Тогда выполняется равенство:

$b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)$

Доказательство:

Доказательство теоремы удобно провести с помощью теоремы косинусов. Рассмотрим треугольник $ABC$ и чевиану $AP$, как показано на рисунке.

Обозначим угол $APB$ как $\theta$. Поскольку углы $APB$ и $APC$ смежные, угол $APC$ равен $180^\circ - \theta$.

Рассмотрим треугольник $ABP$. По теореме косинусов для стороны $c$ ($AB$) имеем:

$c^2 = d^2 + m^2 - 2dm \cos(\theta)$ (1)

Теперь рассмотрим треугольник $ACP$. По теореме косинусов для стороны $b$ ($AC$) имеем:

$b^2 = d^2 + n^2 - 2dn \cos(180^\circ - \theta)$

Используя тригонометрическое тождество $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta)$, преобразуем второе выражение:

$b^2 = d^2 + n^2 + 2dn \cos(\theta)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Чтобы избавиться от $\cos(\theta)$, умножим уравнение (1) на $n$, а уравнение (2) на $m$:

$c^2n = d^2n + m^2n - 2dmn \cos(\theta)$ (3)

$b^2m = d^2m + n^2m + 2dmn \cos(\theta)$ (4)

Теперь сложим почленно уравнения (3) и (4). Члены, содержащие косинус, взаимно уничтожатся:

$b^2m + c^2n = (d^2m + n^2m) + (d^2n + m^2n)$

Сгруппируем слагаемые в правой части равенства, вынося за скобки общие множители:

$b^2m + c^2n = d^2(m+n) + mn(m+n)$

Вынесем общий множитель $(m+n)$ за скобки:

$b^2m + c^2n = (m+n)(d^2 + mn)$

Поскольку $a = m+n$ по построению, мы приходим к окончательной формуле теоремы Стюарта:

$b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Стюарта доказана. Она устанавливает соотношение $b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)$ для сторон треугольника и чевианы.

24. Какие фигуры называются равновеликими, равносоставными?

Равновеликими

Равновеликими называются геометрические фигуры, имеющие одинаковые площади (для плоских фигур) или одинаковые объемы (для пространственных фигур). Само слово "равновеликий" означает "равный по величине", где под величиной понимается площадь или объем.

Например, квадрат со стороной 4 см и прямоугольник со сторонами 2 см и 8 см являются равновеликими, так как их площади равны, хотя сами фигуры не являются равными (конгруэнтными):

Площадь квадрата: $S_{квадрата} = 4^2 = 16 \text{ см}^2$

Площадь прямоугольника: $S_{прямоугольника} = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}^2$

Таким образом, $S_{квадрата} = S_{прямоугольника}$.

Ответ: Равновеликие фигуры — это фигуры с равными площадями (для двумерных фигур) или равными объемами (для трехмерных фигур).

Равносоставными

Равносоставными называются фигуры, которые можно разбить (разрезать) на одинаковое конечное число попарно равных (конгруэнтных) частей. Иными словами, если одну фигуру можно разрезать на части и из этих же частей сложить вторую фигуру, то такие фигуры равносоставны.

Классическим примером является преобразование параллелограмма в равновеликий ему прямоугольник. Для этого от параллелограмма отсекается прямоугольный треугольник и приставляется к другой его стороне.

Важно отметить, что любые равносоставные фигуры всегда являются равновеликими. Для многоугольников на плоскости верно и обратное утверждение, известное как теорема Бойяи-Гервина: любые два равновеликих многоугольника являются равносоставными.

Ответ: Равносоставные фигуры — это фигуры, которые можно разложить на одинаковое конечное число попарно равных соответствующих частей.

25. Как определяется площадь прямоугольника?

Площадь прямоугольника — это численная характеристика, показывающая размер фигуры на плоскости. Она определяется произведением длин двух его смежных сторон, которые принято называть длиной и шириной.

Для нахождения площади прямоугольника используется следующая математическая формула:

$S = a \cdot b$

где:
$S$ — это площадь прямоугольника,
$a$ — это длина одной из его сторон (длина),
$b$ — это длина смежной стороны (ширина).

Визуально это можно представить как подсчет количества единичных квадратов, которыми можно полностью покрыть прямоугольник. Если его длина равна $a$ единиц, а ширина — $b$ единиц, то общее число таких квадратов будет равно $a \times b$.

Пример:
Рассмотрим прямоугольник с длиной $a = 10$ см и шириной $b = 5$ см.
Для вычисления его площади необходимо перемножить длины его сторон:
$S = 10 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 50 \text{ см}^2$
Важно помнить, что площадь измеряется в квадратных единицах (например, см², м², км²).

Частный случай: Квадрат
Квадрат является частным случаем прямоугольника, у которого все стороны равны ($a = b$). В этом случае формула для площади упрощается до квадрата длины его стороны:
$S_{\text{квадрата}} = a \cdot a = a^2$

Ответ: Площадь прямоугольника определяется как произведение длин его смежных сторон (длины и ширины). Расчет производится по формуле $S = a \cdot b$, где $S$ — это площадь, а $a$ и $b$ — длины сторон.

26. Какими формулами определяются площади параллелограмма, треугольника и трапеции? Выведите их.

Площадь параллелограмма:

$S = a \cdot h_a$

Площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма определяется несколькими формулами. Наиболее распространенные из них — через сторону и высоту, и через две стороны и угол между ними.

1. Вывод формулы площади через основание и высоту.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ со стороной $AD = a$ и высотой $BH = h$, проведенной к этой стороне.

Площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ можно найти, мысленно "отрезав" прямоугольный треугольник $ABH$ и переместив его так, чтобы сторона $AB$ совпала со стороной $DC$. В результате получится прямоугольник $HBCK$ (где $K$ — новая точка на продолжении прямой $AD$).

Площадь полученного прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{прямоугольника} = HK \cdot BH$. Так как $HK = AD = a$, то $S_{прямоугольника} = a \cdot h$.

Поскольку при таком преобразовании площадь фигуры не изменилась (мы лишь переместили ее часть), площадь параллелограмма равна площади полученного прямоугольника.

$S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона (основание), а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

2. Вывод формулы площади через две стороны и угол между ними.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ известны стороны $AD = a$, $AB = b$ и угол между ними $\angle A = \alpha$.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ (где $BH=h$ — высота) по определению синуса имеем: $\sin(\alpha) = \frac{BH}{AB} = \frac{h}{b}$.

Отсюда выразим высоту: $h = b \cdot \sin(\alpha)$.

Подставим это выражение в первую формулу площади $S = a \cdot h$:

$S = a \cdot (b \cdot \sin(\alpha)) = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.

Ответ: Площадь параллелограмма определяется формулами $S = a \cdot h_a$ (произведение основания на высоту) или $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ (произведение двух смежных сторон на синус угла между ними).

Площадь треугольника

Площадь треугольника можно определить как половину произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Вывод формулы:

Рассмотрим треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$ и высотой $BH = h$.

Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$, проведя через вершину $B$ прямую, параллельную $AC$, и через вершину $C$ — прямую, параллельную $AB$. Получим параллелограмм $ABDC$.

Площадь этого параллелограмма, как мы вывели ранее, равна $S_{ABDC} = AC \cdot h = a \cdot h$.

Диагональ $BC$ делит параллелограмм на два равных (конгруэнтных) треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$. Следовательно, их площади равны.

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ составляет ровно половину площади параллелограмма $ABDC$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABDC} = \frac{1}{2} a \cdot h$.

Аналогично формуле для параллелограмма, если известны две стороны $a, b$ и угол $\gamma$ между ними, то, подставив $h = b \cdot \sin(\gamma)$, получим: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$.

Ответ: Площадь треугольника определяется формулой $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$ (половина произведения основания на высоту) или $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$ (половина произведения двух сторон на синус угла между ними).

Площадь трапеции

Площадь трапеции определяется как произведение полусуммы ее оснований на высоту.

Вывод формулы:

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с параллельными основаниями $AD=a$ и $BC=b$, и высотой $h$.

Проведем диагональ $AC$, которая разделит трапецию на два треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$.

Площадь всей трапеции будет равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{ADC} + S_{ABC}$.

1. Найдем площадь $\triangle ADC$. Его основание $AD=a$, а высота, проведенная из вершины $C$ к основанию $AD$, равна высоте трапеции $h$.$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} a \cdot h$.

2. Найдем площадь $\triangle ABC$. Его основание $BC=b$. Высота, проведенная из вершины $A$ к прямой, содержащей основание $BC$, также равна высоте трапеции $h$.$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} b \cdot h$.

3. Сложим площади этих треугольников:

$S_{ABCD} = S_{ADC} + S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h + \frac{1}{2} b \cdot h = \frac{1}{2} h \cdot (a + b) = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Ответ: Площадь трапеции определяется формулой $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

27. Что такое декартова система прямоугольных координат? Что такое координаты точек?

Что такое декартова система прямоугольных координат?

Декартова система прямоугольных координат — это способ задания положения точки на плоскости или в пространстве с помощью чисел. Она названа в честь французского математика Рене Декарта.

В простейшем случае, на плоскости, эта система состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых, называемых осями координат. Точка их пересечения называется началом координат и обычно обозначается буквой $O$.

• Горизонтальная ось называется осью абсцисс (осью $Ox$). Положительное направление на ней обычно выбирается слева направо.
• Вертикальная ось называется осью ординат (осью $Oy$). Положительное направление на ней обычно выбирается снизу вверх.

Каждая ось представляет собой числовую прямую с выбранной единицей измерения. Оси координат делят плоскость на четыре части, которые называются координатными четвертями или квадрантами.

В трехмерном пространстве к осям $Ox$ и $Oy$ добавляется третья ось — ось аппликат (ось $Oz$), которая перпендикулярна плоскости, образованной осями $Ox$ и $Oy$. Все три оси пересекаются в начале координат под прямым углом друг к другу.

Ниже представлен пример двумерной декартовой системы координат:

Ответ: Декартова система прямоугольных координат — это система, образованная двумя (на плоскости) или тремя (в пространстве) взаимно перпендикулярными осями с общим началом координат, которая позволяет однозначно определить положение любой точки с помощью числовых значений.

Что такое координаты точек?

Координаты точки — это упорядоченный набор чисел, который задает точное положение этой точки в пространстве или на плоскости относительно заданной системы координат.

В двумерной декартовой системе координат положение точки $P$ определяется парой чисел $(x, y)$, которые называются:

• $x$ — абсцисса. Это число равно расстоянию от точки $P$ до оси ординат ($Oy$), взятому со знаком «+», если точка находится справа от оси $Oy$, и со знаком «−», если слева. Геометрически это проекция точки на ось $Ox$.
• $y$ — ордината. Это число равно расстоянию от точки $P$ до оси абсцисс ($Ox$), взятому со знаком «+», если точка находится выше оси $Ox$, и со знаком «−», если ниже. Геометрически это проекция точки на ось $Oy$.

Координаты точки записываются в круглых скобках через запятую или точку с запятой, например, $P(x, y)$. На рисунке выше показана точка $P$ с ее координатами $x$ (абсцисса) и $y$ (ордината).

Например:

• Начало координат $O$ имеет координаты $(0, 0)$.
• Точка $A(3, 5)$ находится на 3 единицы правее оси $Oy$ и на 5 единиц выше оси $Ox$.
• Точка $B(-2, -4)$ находится на 2 единицы левее оси $Oy$ и на 4 единицы ниже оси $Ox$.

В трехмерной системе координат положение точки $P$ определяется тройкой чисел $(x, y, z)$, где $z$ — это аппликата, которая показывает расстояние от точки до плоскости $xOy$.

Ответ: Координаты точки — это набор чисел (в двумерной системе — пара, в трехмерной — тройка), которые показывают положение точки относительно осей координат. Для точки $P(x, y)$ на плоскости $x$ — это абсцисса (проекция на ось $Ox$), а $y$ — это ордината (проекция на ось $Oy$).

28. Как определяется расстояние между двумя точками?

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, который их соединяет. Способ вычисления этого расстояния зависит от того, где (например, на прямой, на плоскости или в пространстве) и в какой системе координат заданы эти точки.

На координатной прямой (в одномерном пространстве)

Если две точки A и B лежат на координатной прямой и имеют координаты $x_1$ и $x_2$ соответственно, то расстояние $d$ между ними определяется как модуль (абсолютная величина) разности их координат.

Формула: $d = |x_2 - x_1|$.

Это гарантирует, что расстояние всегда будет неотрицательной величиной.

Ответ: Расстояние между точками с координатами $x_1$ и $x_2$ на прямой равно $d = |x_2 - x_1|$.

На координатной плоскости (в двумерном пространстве)

Для двух точек $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ в прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости, расстояние между ними вычисляется с помощью теоремы Пифагора. Отрезок AB рассматривается как гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого параллельны осям координат, а их длины равны $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$.

По теореме Пифагора $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Извлекая квадратный корень, получаем формулу для расстояния (евклидова расстояния):

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Ответ: Расстояние на плоскости между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

В пространстве (в трехмерном пространстве)

Формула для плоскости обобщается и на трехмерное пространство. Для двух точек $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ в декартовой системе координат расстояние вычисляется путем добавления третьей координаты:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Эта формула также является следствием теоремы Пифагора, примененной дважды.

Ответ: Расстояние в пространстве между точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

29. Выведите формулу деления отрезка в данном отношении. Как определяется центр отрезка?

Выведите формулу деления отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости в прямоугольной системе координат даны две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Необходимо найти координаты точки $C(x, y)$, которая лежит на отрезке $AB$ и делит его в заданном отношении $\lambda > 0$, то есть выполняется равенство $\frac{AC}{CB} = \lambda$.

Для вывода формулы спроецируем точки $A$, $C$ и $B$ на координатные оси. При проекции на ось $Ox$ получим точки $A_x(x_1, 0)$, $C_x(x, 0)$ и $B_x(x_2, 0)$. Прямые, проходящие через точки $A$, $C$, $B$ и перпендикулярные оси $Ox$, параллельны между собой. По обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают две другие прямые (в нашем случае прямую $AB$ и ось $Ox$), то они отсекают на них пропорциональные отрезки. Следовательно, отношение отрезков на прямой $AB$ равно отношению длин их проекций на ось $Ox$:

$\frac{AC}{CB} = \frac{|x - x_1|}{|x_2 - x|} = \lambda$

Поскольку точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$, координата $x$ лежит между $x_1$ и $x_2$. Поэтому знаки модулей можно убрать (предполагая $x_1 < x < x_2$):

$\frac{x - x_1}{x_2 - x} = \lambda$

Выразим из этого уравнения координату $x$:

$x - x_1 = \lambda (x_2 - x)$

$x - x_1 = \lambda x_2 - \lambda x$

$x + \lambda x = x_1 + \lambda x_2$

$x(1 + \lambda) = x_1 + \lambda x_2$

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$

Аналогичные рассуждения проводим для проекций на ось $Oy$. Получаем соотношение для координаты $y$:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y} = \lambda$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

Таким образом, мы получили формулы для координат точки $C$, делящей отрезок $AB$ в отношении $\lambda$.

Ответ: Координаты $(x, y)$ точки $C$, делящей отрезок, соединяющий точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, в отношении $\lambda = \frac{AC}{CB}$, вычисляются по формулам: $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$, $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$.

Как определяется центр отрезка?

Центр (или середина) отрезка — это точка, которая делит отрезок на две равные части. Если точка $C(x, y)$ является центром отрезка $AB$, то длина отрезка $AC$ равна длине отрезка $CB$.

В этом случае отношение $\lambda$, в котором точка $C$ делит отрезок $AB$, равно единице:

$\lambda = \frac{AC}{CB} = 1$

Для нахождения координат центра отрезка подставим значение $\lambda = 1$ в выведенные выше формулы деления отрезка в данном отношении:

$x = \frac{x_1 + 1 \cdot x_2}{1 + 1} = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y = \frac{y_1 + 1 \cdot y_2}{1 + 1} = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Это означает, что каждая координата центра отрезка равна полусумме (среднему арифметическому) соответствующих координат его концов.

Ответ: Центр отрезка с концами в точках $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ — это точка $C(x, y)$, координаты которой определяются как полусумма соответствующих координат концов отрезка: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

30. Напишите уравнения прямой и окружности.

Поскольку на изображении не представлены конкретные прямая и окружность для составления уравнений, в ответе будут приведены общие формулы и разобраны примеры их использования.

Уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости можно задать несколькими способами. Наиболее распространенным является уравнение с угловым коэффициентом: $y = kx + b$.
Здесь $k$ — это угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (Ox).
$b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью ординат (Oy).

Если известны координаты двух точек, через которые проходит прямая, например $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то ее уравнение можно найти по формуле:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Пример: Напишем уравнение прямой, проходящей через точки $A(2, 5)$ и $B(-1, -1)$.
Подставим координаты точек $A$ и $B$ в формулу:
$\frac{x - 2}{-1 - 2} = \frac{y - 5}{-1 - 5}$
$\frac{x - 2}{-3} = \frac{y - 5}{-6}$
Умножим обе части уравнения на $-6$, чтобы избавиться от знаменателей:
$2(x - 2) = y - 5$
$2x - 4 = y - 5$
Выразим $y$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:
$y = 2x - 4 + 5$
$y = 2x + 1$

Ответ: Общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$ или $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. Уравнение прямой для примера: $y = 2x + 1$.

Уравнение окружности
Стандартное (каноническое) уравнение окружности на плоскости имеет вид:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
Здесь $(a, b)$ — это координаты центра окружности.
$R$ — это радиус окружности.
Это уравнение выражает тот факт, что любая точка $(x, y)$ на окружности находится на одинаковом расстоянии $R$ от центра $(a, b)$.

Пример: Напишем уравнение окружности с центром в точке $C(3, -2)$ и радиусом $R = 6$.
Подставим значения $a = 3$, $b = -2$ и $R = 6$ в стандартное уравнение:
$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 6^2$
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 36$
Это и есть искомое уравнение окружности.

Ответ: Общий вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Уравнение окружности для примера: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 36$.

31. Каковы особенности расположения прямой и окружности относительно осей координат?

Рассмотрим особенности расположения прямой и окружности в декартовой системе координат, которые возникают при определённых значениях коэффициентов в их уравнениях.

Особенности расположения прямой

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид $ax + by + c = 0$, где $a$, $b$, $c$ — некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю. Особенности расположения прямой зависят от того, равны ли эти коэффициенты нулю.

1. Прямая, параллельная оси абсцисс (Ox)

Если в общем уравнении коэффициент $a = 0$ (а $b \neq 0$), уравнение принимает вид $by + c = 0$, откуда $y = -c/b$. Обозначив $-c/b$ как $y_0$, получаем уравнение $y = y_0$. Это уравнение задаёт горизонтальную прямую, параллельную оси Ox.

Частный случай: Если также $c = 0$, то уравнение становится $y = 0$. Это уравнение самой оси абсцисс (Ox).

2. Прямая, параллельная оси ординат (Oy)

Если в общем уравнении коэффициент $b = 0$ (а $a \neq 0$), уравнение принимает вид $ax + c = 0$, откуда $x = -c/a$. Обозначив $-c/a$ как $x_0$, получаем уравнение $x = x_0$. Это уравнение задаёт вертикальную прямую, параллельную оси Oy.

Частный случай: Если также $c = 0$, то уравнение становится $x = 0$. Это уравнение самой оси ординат (Oy).

3. Прямая, проходящая через начало координат

Если свободный член $c = 0$ (а $a \neq 0$ и $b \neq 0$), уравнение принимает вид $ax + by = 0$. Его можно переписать как $y = kx$, где $k = -a/b$ — угловой коэффициент. Такая прямая всегда проходит через точку $(0, 0)$.

Ответ: Особенности расположения прямой относительно осей координат определяются коэффициентами её общего уравнения $ax + by + c = 0$. Если $a=0$, прямая параллельна оси Ox (или совпадает с ней, если $c=0$). Если $b=0$, прямая параллельна оси Oy (или совпадает с ней, если $c=0$). Если $c=0$, прямая проходит через начало координат.

Особенности расположения окружности

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Особенности расположения окружности зависят от положения её центра и соотношения между координатами центра и радиусом.

1. Окружность с центром в начале координат

Если центр окружности совпадает с началом координат, то $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Уравнение принимает вид $x^2 + y^2 = R^2$. Такая окружность симметрична относительно обеих осей координат и начала координат.

2. Окружность с центром на оси абсцисс (Ox)

Если центр окружности лежит на оси Ox, то его ордината $y_0 = 0$. Уравнение имеет вид $(x - x_0)^2 + y^2 = R^2$. Такая окружность симметрична относительно оси Ox.

3. Окружность с центром на оси ординат (Oy)

Если центр окружности лежит на оси Oy, то его абсцисса $x_0 = 0$. Уравнение имеет вид $x^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Такая окружность симметрична относительно оси Oy.

4. Окружность, касающаяся одной или обеих осей координат

Окружность касается оси, если расстояние от её центра до оси равно радиусу.

• Касание оси Ox: расстояние от центра $(x_0, y_0)$ до оси Ox равно $|y_0|$. Условие касания: $|y_0| = R$. Уравнение: $(x - x_0)^2 + (y \mp R)^2 = R^2$.
• Касание оси Oy: расстояние от центра $(x_0, y_0)$ до оси Oy равно $|x_0|$. Условие касания: $|x_0| = R$. Уравнение: $(x \mp R)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
• Касание обеих осей: выполняются оба условия, $|x_0| = R$ и $|y_0| = R$. Центр имеет координаты $(\pm R, \pm R)$. Уравнение: $(x \mp R)^2 + (y \mp R)^2 = R^2$.

Ответ: Особенности расположения окружности определяются положением её центра $(x_0, y_0)$ и величиной радиуса $R$. Если центр в начале координат ($x_0=0, y_0=0$), окружность симметрична относительно начала и осей. Если центр на оси Ox ($y_0=0$) или Oy ($x_0=0$), окружность симметрична относительно этой оси. Если $|y_0|=R$ или $|x_0|=R$, окружность касается оси Ox или Oy соответственно. Если $|x_0|=|y_0|=R$, окружность касается обеих осей.