Номер 19, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

19. Определите связь между тригонометрическими функциями прямоугольного треугольника.

Связь между тригонометрическими функциями в прямоугольном треугольнике определяется через соотношения его сторон и углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Обозначим катеты, противолежащие углам A и B, как a и b соответственно, а гипотенузу — как c. Острые углы при вершинах A и B обозначим как $\alpha$ и $\beta$.

Основные тригонометрические функции для угла $\alpha$ определяются так:

Синус: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

Косинус: $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

Тангенс: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему)

Котангенс: $\cot(\alpha) = \frac{b}{a}$ (отношение прилежащего катета к противолежащему)

На основе этих определений и теоремы Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) выводятся основные тригонометрические тождества, которые и описывают связь между функциями.

Основные тригонометрические тождества

Эти тождества верны для любого угла и связывают разные тригонометрические функции между собой.

1. Связь тангенса с синусом и косинусом:$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Доказательство: $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} = \tan(\alpha)$.

2. Связь котангенса с синусом и косинусом:$\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
Доказательство: $\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{b/c}{a/c} = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{b}{a} = \cot(\alpha)$.

3. Связь тангенса и котангенса:$\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1$.
Доказательство: $\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$.

4. Основное тригонометрическое тождество (следствие теоремы Пифагора):$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Доказательство: По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Разделим обе части на $c^2$: $\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1$. Это можно переписать как $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = 1$, что соответствует $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

5. Связь тангенса и косинуса:$1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.
Доказательство: Разделим основное тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ на $\cos^2(\alpha)$: $\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + \frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$, что дает $\tan^2(\alpha) + 1 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.

6. Связь котангенса и синуса:$1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.
Доказательство: Разделим основное тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ на $\sin^2(\alpha)$: $\frac{\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} + \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$, что дает $1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.

Ответ: Связи между тригонометрическими функциями выражаются основными тождествами: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$; $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$; $\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1$; $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$; $1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$; $1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.

Связь функций для двух острых углов треугольника (формулы приведения)

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 90^\circ$ или $\beta = 90^\circ - \alpha$. Это приводит к связям между функциями этих двух углов.

Рассмотрим функции для угла $\beta$:

$\sin(\beta) = \frac{b}{c}$ (противолежащий катет b к гипотенузе c)

$\cos(\beta) = \frac{a}{c}$ (прилежащий катет a к гипотенузе c)

Сравнивая их с функциями для угла $\alpha$, получаем:

$\sin(\beta) = \frac{b}{c} = \cos(\alpha)$

$\cos(\beta) = \frac{a}{c} = \sin(\alpha)$

Аналогично для тангенса и котангенса:

$\tan(\beta) = \frac{b}{a} = \cot(\alpha)$

$\cot(\beta) = \frac{a}{b} = \tan(\alpha)$

Подставляя $\beta = 90^\circ - \alpha$, получаем формулы приведения для острого угла:

$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$

$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$

$\tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha)$

$\cot(90^\circ - \alpha) = \tan(\alpha)$

Ответ: Синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, а тангенс одного острого угла равен котангенсу другого. Математически: $\sin(\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha)$, $\cos(\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha)$, $\tan(\alpha) = \cot(90^\circ - \alpha)$, $\cot(\alpha) = \tan(90^\circ - \alpha)$.