Номер 20, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

20. Каковы значения синуса, косинуса и тангенса для некоторых углов?

Значения синуса, косинуса и тангенса для некоторых основных углов являются фундаментальными в тригонометрии. Их можно найти, используя единичную окружность или рассматривая прямоугольные треугольники с определенными углами. Ниже приведены значения для наиболее часто используемых углов.

Для угла 0° (0 радиан)

Рассмотрим точку на единичной окружности, соответствующую углу 0°. Координаты этой точки $(1, 0)$. По определению, косинус угла — это абсцисса (координата x), а синус — это ордината (координата y).

Синус: $\sin(0^\circ) = 0$

Косинус: $\cos(0^\circ) = 1$

Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

Тангенс: $\tan(0^\circ) = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $\sin(0^\circ) = 0$, $\cos(0^\circ) = 1$, $\tan(0^\circ) = 0$.

Для угла 30° ($\frac{\pi}{6}$ радиан)

Для нахождения значений для угла 30° можно использовать прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°. В таком треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Пусть этот катет равен 1, тогда гипотенуза равна 2. По теореме Пифагора, второй катет равен $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.

Синус (отношение противолежащего катета к гипотенузе): $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Косинус (отношение прилежащего катета к гипотенузе): $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему): $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для угла 45° ($\frac{\pi}{4}$ радиан)

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с углами 45°, 45° и 90°. Катеты такого треугольника равны. Пусть катеты равны 1. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Синус: $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Косинус: $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Тангенс: $\tan(45^\circ) = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(45^\circ) = 1$.

Для угла 60° ($\frac{\pi}{3}$ радиан)

Используем тот же прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°, что и для угла 30°. Теперь нас интересует угол 60°. Катет, противолежащий этому углу, равен $\sqrt{3}$, прилежащий катет равен 1, а гипотенуза равна 2.

Синус: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Косинус: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Тангенс: $\tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Для угла 90° ($\frac{\pi}{2}$ радиан)

Вернемся к единичной окружности. Точка, соответствующая углу 90°, имеет координаты $(0, 1)$.

Синус: $\sin(90^\circ) = 1$

Косинус: $\cos(90^\circ) = 0$

Тангенс: $\tan(90^\circ) = \frac{1}{0}$. Деление на ноль не определено, поэтому тангенс 90° не существует.

Ответ: $\sin(90^\circ) = 1$, $\cos(90^\circ) = 0$, $\tan(90^\circ)$ не существует.

Для удобства значения тригонометрических функций для основных углов часто сводят в таблицу.