Номер 26, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26. Какими формулами определяются площади параллелограмма, треугольника и трапеции? Выведите их.

Площадь параллелограмма:

$S = a \cdot h_a$

Площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма определяется несколькими формулами. Наиболее распространенные из них — через сторону и высоту, и через две стороны и угол между ними.

1. Вывод формулы площади через основание и высоту.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ со стороной $AD = a$ и высотой $BH = h$, проведенной к этой стороне.

Площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ можно найти, мысленно "отрезав" прямоугольный треугольник $ABH$ и переместив его так, чтобы сторона $AB$ совпала со стороной $DC$. В результате получится прямоугольник $HBCK$ (где $K$ — новая точка на продолжении прямой $AD$).

Площадь полученного прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{прямоугольника} = HK \cdot BH$. Так как $HK = AD = a$, то $S_{прямоугольника} = a \cdot h$.

Поскольку при таком преобразовании площадь фигуры не изменилась (мы лишь переместили ее часть), площадь параллелограмма равна площади полученного прямоугольника.

$S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона (основание), а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

2. Вывод формулы площади через две стороны и угол между ними.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ известны стороны $AD = a$, $AB = b$ и угол между ними $\angle A = \alpha$.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ (где $BH=h$ — высота) по определению синуса имеем: $\sin(\alpha) = \frac{BH}{AB} = \frac{h}{b}$.

Отсюда выразим высоту: $h = b \cdot \sin(\alpha)$.

Подставим это выражение в первую формулу площади $S = a \cdot h$:

$S = a \cdot (b \cdot \sin(\alpha)) = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.

Ответ: Площадь параллелограмма определяется формулами $S = a \cdot h_a$ (произведение основания на высоту) или $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ (произведение двух смежных сторон на синус угла между ними).

Площадь треугольника

Площадь треугольника можно определить как половину произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Вывод формулы:

Рассмотрим треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$ и высотой $BH = h$.

Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$, проведя через вершину $B$ прямую, параллельную $AC$, и через вершину $C$ — прямую, параллельную $AB$. Получим параллелограмм $ABDC$.

Площадь этого параллелограмма, как мы вывели ранее, равна $S_{ABDC} = AC \cdot h = a \cdot h$.

Диагональ $BC$ делит параллелограмм на два равных (конгруэнтных) треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$. Следовательно, их площади равны.

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ составляет ровно половину площади параллелограмма $ABDC$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABDC} = \frac{1}{2} a \cdot h$.

Аналогично формуле для параллелограмма, если известны две стороны $a, b$ и угол $\gamma$ между ними, то, подставив $h = b \cdot \sin(\gamma)$, получим: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$.

Ответ: Площадь треугольника определяется формулой $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$ (половина произведения основания на высоту) или $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$ (половина произведения двух сторон на синус угла между ними).

Площадь трапеции

Площадь трапеции определяется как произведение полусуммы ее оснований на высоту.

Вывод формулы:

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с параллельными основаниями $AD=a$ и $BC=b$, и высотой $h$.

Проведем диагональ $AC$, которая разделит трапецию на два треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$.

Площадь всей трапеции будет равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{ADC} + S_{ABC}$.

1. Найдем площадь $\triangle ADC$. Его основание $AD=a$, а высота, проведенная из вершины $C$ к основанию $AD$, равна высоте трапеции $h$.$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} a \cdot h$.

2. Найдем площадь $\triangle ABC$. Его основание $BC=b$. Высота, проведенная из вершины $A$ к прямой, содержащей основание $BC$, также равна высоте трапеции $h$.$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} b \cdot h$.

3. Сложим площади этих треугольников:

$S_{ABCD} = S_{ADC} + S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h + \frac{1}{2} b \cdot h = \frac{1}{2} h \cdot (a + b) = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Ответ: Площадь трапеции определяется формулой $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.