Номер 28, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

28. Как определяется расстояние между двумя точками?

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, который их соединяет. Способ вычисления этого расстояния зависит от того, где (например, на прямой, на плоскости или в пространстве) и в какой системе координат заданы эти точки.

На координатной прямой (в одномерном пространстве)

Если две точки A и B лежат на координатной прямой и имеют координаты $x_1$ и $x_2$ соответственно, то расстояние $d$ между ними определяется как модуль (абсолютная величина) разности их координат.

Формула: $d = |x_2 - x_1|$.

Это гарантирует, что расстояние всегда будет неотрицательной величиной.

Ответ: Расстояние между точками с координатами $x_1$ и $x_2$ на прямой равно $d = |x_2 - x_1|$.

На координатной плоскости (в двумерном пространстве)

Для двух точек $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ в прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости, расстояние между ними вычисляется с помощью теоремы Пифагора. Отрезок AB рассматривается как гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого параллельны осям координат, а их длины равны $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$.

По теореме Пифагора $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Извлекая квадратный корень, получаем формулу для расстояния (евклидова расстояния):

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Ответ: Расстояние на плоскости между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

В пространстве (в трехмерном пространстве)

Формула для плоскости обобщается и на трехмерное пространство. Для двух точек $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ в декартовой системе координат расстояние вычисляется путем добавления третьей координаты:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Эта формула также является следствием теоремы Пифагора, примененной дважды.

Ответ: Расстояние в пространстве между точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.