Номер 34, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

34. Напишите формулы приведения.

Формулы приведения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрические функции углов вида $\frac{\pi n}{2} \pm \alpha$ (или $90^\circ \cdot n \pm \alpha$) через функции острого угла $\alpha$. Это упрощает вычисления и преобразование тригонометрических выражений.

Чтобы не заучивать все формулы, можно использовать простое мнемоническое правило, состоящее из двух шагов:

1. Определение знака итоговой функции

Знак в правой части формулы совпадает со знаком исходной функции в той координатной четверти, где находится угол $\frac{\pi n}{2} \pm \alpha$. При этом угол $\alpha$ условно считается острым (из первой четверти). Распределение знаков тригонометрических функций по четвертям показано на рисунке:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): все функции положительны.

• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): положителен только синус ($\sin$).

• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): положительны тангенс ($\text{tg}$) и котангенс ($\text{ctg}$).

• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): положителен только косинус ($\cos$).

2. Определение названия итоговой функции

• Если исходный угол содержит точки $\pi$ или $2\pi$ (т.е. $180^\circ$ или $360^\circ$, которые лежат на горизонтальной оси), то название функции не меняется. Например, $\sin(\pi - \alpha)$ останется функцией синуса.

• Если исходный угол содержит точки $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (т.е. $90^\circ$ или $270^\circ$, которые лежат на вертикальной оси), то название функции меняется на кофункцию: $\sin \leftrightarrow \cos$, $\text{tg} \leftrightarrow \text{ctg}$. Например, $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ станет функцией синуса.

Применение этих двух правил позволяет вывести любую из формул приведения. Ниже приведен их полный список.

Ответ:

Формулы для углов вида $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ ($90^\circ \pm \alpha$)

$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$

$\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \alpha$

$\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg} \alpha$

$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha$

$\text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg} \alpha$

$\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg} \alpha$

Формулы для углов вида $\pi \pm \alpha$ ($180^\circ \pm \alpha$)

$\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$

$\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$

$\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg} \alpha$

$\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg} \alpha$

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$

$\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$

$\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha$

$\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg} \alpha$

Формулы для углов вида $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$ ($270^\circ \pm \alpha$)

$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$

$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha$

$\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \alpha$

$\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{tg} \alpha$

$\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha$

$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha$

$\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg} \alpha$

$\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg} \alpha$

Формулы для углов вида $2\pi \pm \alpha$ ($360^\circ \pm \alpha$) и отрицательных углов

$\sin(2\pi + \alpha) = \sin \alpha$ (периодичность)

$\sin(2\pi - \alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin \alpha$

$\cos(2\pi + \alpha) = \cos \alpha$ (периодичность)

$\cos(2\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos \alpha$

$\text{tg}(2\pi - \alpha) = \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg} \alpha$

$\text{ctg}(2\pi - \alpha) = \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg} \alpha$