Номер 29, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

29. Выведите формулу деления отрезка в данном отношении. Как определяется центр отрезка?

Выведите формулу деления отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости в прямоугольной системе координат даны две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Необходимо найти координаты точки $C(x, y)$, которая лежит на отрезке $AB$ и делит его в заданном отношении $\lambda > 0$, то есть выполняется равенство $\frac{AC}{CB} = \lambda$.

Для вывода формулы спроецируем точки $A$, $C$ и $B$ на координатные оси. При проекции на ось $Ox$ получим точки $A_x(x_1, 0)$, $C_x(x, 0)$ и $B_x(x_2, 0)$. Прямые, проходящие через точки $A$, $C$, $B$ и перпендикулярные оси $Ox$, параллельны между собой. По обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают две другие прямые (в нашем случае прямую $AB$ и ось $Ox$), то они отсекают на них пропорциональные отрезки. Следовательно, отношение отрезков на прямой $AB$ равно отношению длин их проекций на ось $Ox$:

$\frac{AC}{CB} = \frac{|x - x_1|}{|x_2 - x|} = \lambda$

Поскольку точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$, координата $x$ лежит между $x_1$ и $x_2$. Поэтому знаки модулей можно убрать (предполагая $x_1 < x < x_2$):

$\frac{x - x_1}{x_2 - x} = \lambda$

Выразим из этого уравнения координату $x$:

$x - x_1 = \lambda (x_2 - x)$

$x - x_1 = \lambda x_2 - \lambda x$

$x + \lambda x = x_1 + \lambda x_2$

$x(1 + \lambda) = x_1 + \lambda x_2$

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$

Аналогичные рассуждения проводим для проекций на ось $Oy$. Получаем соотношение для координаты $y$:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y} = \lambda$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

Таким образом, мы получили формулы для координат точки $C$, делящей отрезок $AB$ в отношении $\lambda$.

Ответ: Координаты $(x, y)$ точки $C$, делящей отрезок, соединяющий точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, в отношении $\lambda = \frac{AC}{CB}$, вычисляются по формулам: $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$, $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$.

Как определяется центр отрезка?

Центр (или середина) отрезка — это точка, которая делит отрезок на две равные части. Если точка $C(x, y)$ является центром отрезка $AB$, то длина отрезка $AC$ равна длине отрезка $CB$.

В этом случае отношение $\lambda$, в котором точка $C$ делит отрезок $AB$, равно единице:

$\lambda = \frac{AC}{CB} = 1$

Для нахождения координат центра отрезка подставим значение $\lambda = 1$ в выведенные выше формулы деления отрезка в данном отношении:

$x = \frac{x_1 + 1 \cdot x_2}{1 + 1} = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y = \frac{y_1 + 1 \cdot y_2}{1 + 1} = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Это означает, что каждая координата центра отрезка равна полусумме (среднему арифметическому) соответствующих координат его концов.

Ответ: Центр отрезка с концами в точках $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ — это точка $C(x, y)$, координаты которой определяются как полусумма соответствующих координат концов отрезка: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$.