Номер 1, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое скалярная величина, векторная величина? Что такое коллинеарные векторы? Какая связь между вектором и параллельным переносом?

Что такое скалярная величина, векторная величина?

Скалярная величина (или просто скаляр) — это величина, которая полностью определяется своим числовым значением в определённой системе единиц. Скалярные величины не имеют направления. Примерами скалярных величин являются длина (например, 5 метров), масса (10 килограммов), температура (20 °C), время (15 секунд), площадь, объём, энергия.

Векторная величина (или просто вектор) — это величина, которая характеризуется как числовым значением (называемым модулем или длиной вектора), так и направлением в пространстве. Геометрически вектор представляется в виде направленного отрезка, у которого есть начало и конец. Примерами векторных величин являются перемещение, скорость, ускорение, сила, импульс. Вектор обычно обозначают буквой со стрелкой наверху, например $\vec{a}$, или жирной буквой, например $\mathbf{a}$.

Ответ: Скалярная величина характеризуется только числовым значением (масса, температура), а векторная — и числовым значением (модулем), и направлением (скорость, сила).

Что такое коллинеарные векторы?

Коллинеарными называются два ненулевых вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор (вектор, у которого начало и конец совпадают) по определению считается коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы могут быть: • Сонаправленными, если они имеют одинаковое направление. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. • Противоположно направленными, если их направления противоположны. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

С алгебраической точки зрения, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что выполняется равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Если $k > 0$, векторы сонаправлены. Если $k < 0$, векторы противоположно направлены. Для векторов, заданных на плоскости координатами $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$, условием коллинеарности является пропорциональность их координат: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.

На рисунке векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ коллинеарны, так как лежат на параллельных прямых. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ являются сонаправленными. Вектор $\vec{d}$ является противоположно направленным по отношению к векторам $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Ответ: Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной или параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными (иметь одинаковое направление) или противоположно направленными.

Какая связь между вектором и параллельным переносом?

Связь между вектором и параллельным переносом прямая и определяющая: параллельный перенос задается вектором.

Параллельный перенос — это такое преобразование (движение) плоскости или пространства, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Вектор как раз и несет в себе эту информацию: его направление указывает, куда смещать точки, а его длина (модуль) — на какое расстояние.

Таким образом, при параллельном переносе на вектор $\vec{v}$ каждая точка $A$ фигуры переходит в такую точку $A'$, что вектор $\vec{AA'}$ равен вектору $\vec{v}$. То есть, $\vec{AA'} = \vec{v}$.

На рисунке треугольник $A'B'C'$ получен из треугольника $ABC$ параллельным переносом на вектор $\vec{v}$. Для всех вершин выполняется: $\vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'} = \vec{v}$. В координатной форме, если точка $A$ имеет координаты $(x, y)$, а вектор переноса $\vec{v} = (a, b)$, то ее образ, точка $A'$, будет иметь координаты $(x+a, y+b)$.

Ответ: Параллельный перенос — это смещение всех точек на определенный вектор. Этот вектор называется вектором переноса, он задает направление и расстояние смещения.