Номер 8, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. Что такое скалярное произведение векторов?

Определение

Скалярное произведение двух векторов — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число (а не вектор). Скалярное произведение обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$. Существует два эквивалентных определения скалярного произведения: геометрическое и алгебраическое.

Геометрическое определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется произведение их длин (модулей) на косинус угла $\alpha$ между ними.

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, а $\alpha$ — угол между этими векторами.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение равно нулю.

Алгебраическое определение (в координатах)

Скалярным произведением двух векторов, заданных своими координатами в прямоугольной системе координат, называется сумма произведений их соответствующих координат.

Для векторов на плоскости $\vec{a} = \{a_x; a_y\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y\}$:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $

Для векторов в трехмерном пространстве $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $

Основные свойства скалярного произведения

1. Коммутативность (переместительный закон): $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $.

2. Дистрибутивность (распределительный закон): $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} $.

3. Сочетательный закон относительно скалярного множителя $k$: $ (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) $.

4. Скалярный квадрат вектора. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $ \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 $.

5. Условие перпендикулярности (ортогональности). Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Это следует из геометрического определения, так как $\cos(90^\circ) = 0$.

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b} $

Геометрический и физический смысл

Знак скалярного произведения зависит от угла между векторами:

• Если угол $\alpha$ острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$), то $\cos(\alpha) > 0$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.

• Если угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$), то $\cos(\alpha) < 0$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

• Если угол $\alpha$ прямой ($\alpha = 90^\circ$), то $\cos(\alpha) = 0$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Скалярное произведение можно интерпретировать как произведение длины одного вектора на проекцию второго вектора на ось первого: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}| \cdot (|\vec{a}| \cos \alpha) = |\vec{b}| \cdot пр_{\vec{b}}\vec{a}$.

Основное практическое применение — нахождение угла между векторами:

$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}} $

В физике скалярное произведение используется для вычисления работы $A$, совершаемой силой $\vec{F}$ при перемещении тела на вектор $\vec{s}$: $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$.

Ответ: Скалярное произведение векторов — это число (скаляр), которое можно найти двумя основными способами: 1) как произведение длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha$; 2) как сумму произведений соответствующих координат векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + \dots$. Главное применение скалярного произведения — определение угла между векторами и проверка их перпендикулярности (произведение равно нулю, если векторы перпендикулярны).