Номер 9, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9. Определите координаты центра тяжести треугольника, применив элементы векторной алгебры.

Для определения координат центра тяжести (центроида) треугольника с помощью векторной алгебры, рассмотрим треугольник с вершинами в точках A, B и C. Пусть их положение в пространстве задано радиус-векторами $\vec{r_A}$, $\vec{r_B}$ и $\vec{r_C}$ соответственно, проведенными из начала координат O. Координаты вершин: $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$.

Центр тяжести треугольника, который также называют центроидом, является точкой пересечения его медиан. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Рассмотрим медиану AM, где M — середина стороны BC. Радиус-вектор точки M, как середины отрезка BC, находится как среднее арифметическое радиус-векторов точек B и C:

$\vec{r_M} = \frac{\vec{r_B} + \vec{r_C}}{2}$

Пусть G — центр тяжести треугольника. Точка G лежит на медиане AM и делит ее в отношении $AG : GM = 2 : 1$. По формуле деления отрезка в данном отношении, радиус-вектор точки G ($\vec{r_G}$) можно выразить через радиус-векторы точек A и M:

$\vec{r_G} = \frac{1 \cdot \vec{r_A} + 2 \cdot \vec{r_M}}{1 + 2} = \frac{\vec{r_A} + 2\vec{r_M}}{3}$

Теперь подставим выражение для $\vec{r_M}$ в эту формулу:

$\vec{r_G} = \frac{\vec{r_A} + 2 \left( \frac{\vec{r_B} + \vec{r_C}}{2} \right)}{3} = \frac{\vec{r_A} + (\vec{r_B} + \vec{r_C})}{3}$

Таким образом, мы получили векторную формулу для радиус-вектора центра тяжести:

$\vec{r_G} = \frac{\vec{r_A} + \vec{r_B} + \vec{r_C}}{3}$

Это означает, что радиус-вектор центра тяжести треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин.

Перейдем от векторного представления к координатному. Пусть центр тяжести G имеет координаты $(x_G, y_G, z_G)$. Тогда его радиус-вектор $\vec{r_G} = \{x_G, y_G, z_G\}$. Аналогично для вершин A, B и C: $\vec{r_A} = \{x_A, y_A, z_A\}$, $\vec{r_B} = \{x_B, y_B, z_B\}$, $\vec{r_C} = \{x_C, y_C, z_C\}$.

Приравнивая соответствующие компоненты векторов в полученной формуле, находим координаты центра тяжести:

$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

$z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$

Эти формулы показывают, что каждая координата центра тяжести треугольника является средним арифметическим соответствующих координат его вершин.

Ответ: Координаты центра тяжести $G(x_G, y_G, z_G)$ треугольника с вершинами $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$ определяются как среднее арифметическое соответствующих координат вершин: $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$, $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$, $z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$.