Номер 10, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Что такое решение треугольников?

Решение треугольников — это процесс нахождения неизвестных элементов треугольника (длин сторон и величин углов) по уже известным. Любой треугольник имеет шесть основных элементов: три стороны (обозначим их $a, b, c$) и три угла ($\alpha, \beta, \gamma$), расположенных напротив соответствующих сторон. Задача считается решенной, когда все шесть элементов определены. Для однозначного определения треугольника обычно требуется знать три его элемента, при этом как минимум один из них должен быть стороной.

Для решения треугольников используются фундаментальные тригонометрические теоремы и свойства. Ключевыми инструментами являются:

• Теорема синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
• Теорема косинусов, являющаяся обобщением теоремы Пифагора для произвольного треугольника: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$. Она связывает длины трех сторон с косинусом одного из углов.
• Свойство суммы углов треугольника, согласно которому сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
• В частном случае для прямоугольных треугольников используются теорема Пифагора ($a^2+b^2=c^2$) и определения тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс).

Существуют четыре типовые задачи на решение треугольников, в зависимости от набора известных элементов.

Первый случай: известны одна сторона и два угла (например, сторона $a$ и углы $\beta, \gamma$). Сначала находится третий угол из условия $\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma)$. Затем, используя теорему синусов, вычисляются две оставшиеся стороны: $b = a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$ и $c = a \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$.

Второй случай: известны две стороны и угол между ними (например, стороны $a, b$ и угол $\gamma$). Третья сторона $c$ находится по теореме косинусов: $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma}$. После этого, используя теорему синусов, можно найти второй угол (например, $\alpha = \arcsin\left(\frac{a \sin \gamma}{c}\right)$), а третий угол — из свойства суммы углов: $\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$.

Третий случай: известны все три стороны ($a, b, c$). В этом случае необходимо проверить выполнимость неравенства треугольника (сумма двух любых сторон должна быть больше третьей). Углы находятся по теореме косинусов. Например, для угла $\gamma$ формула будет такой: $\gamma = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$. Аналогично находятся остальные углы.

Четвертый случай: известны две стороны и угол, противолежащий одной из них (например, стороны $a, b$ и угол $\alpha$). Этот случай является неоднозначным и может иметь ноль, одно или два решения. По теореме синусов находится синус угла $\beta$: $\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}$. В зависимости от величины $\frac{b \sin \alpha}{a}$ (больше 1, равно 1 или меньше 1) определяется количество возможных треугольников. Для каждого возможного решения довычисляются оставшиеся угол и сторона.

Решение треугольников имеет большое практическое значение в таких областях, как геодезия, астрономия, навигация, физика и инженерия для выполнения косвенных измерений, когда прямое измерение расстояний или углов невозможно или затруднено.

Ответ: Решение треугольников — это нахождение всех неизвестных элементов треугольника (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (из которых хотя бы один является стороной). Эта задача решается с помощью теоремы синусов, теоремы косинусов и теоремы о сумме углов треугольника.