Номер 15, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

15. Что такое выпуклый многоугольник? Что такое правильный многоугольник?

Что такое выпуклый многоугольник?

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Другими словами, если продолжить любую из сторон многоугольника в обе стороны, то весь многоугольник окажется по одну сторону от этой прямой.

Существует и другое, эквивалентное определение: многоугольник является выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его внутренние точки, полностью содержится внутри этого многоугольника.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, многоугольник является невыпуклым (или вогнутым).

Ключевые свойства выпуклого многоугольника:

• Все его внутренние углы меньше $180^\circ$.
• Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле: $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$.
• Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

Ответ: Выпуклый многоугольник — это такой многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Что такое правильный многоугольник?

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все внутренние углы равны между собой. То есть он является одновременно равносторонним и равноугольным.

Ключевые свойства правильного многоугольника:

• Так как все углы равны, величину одного внутреннего угла правильного $n$-угольника можно найти по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
• Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность (все вершины лежат на ней).
• В любой правильный многоугольник можно вписать окружность (все стороны касаются её).
• Центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Примерами являются равносторонний треугольник ($n=3$), квадрат ($n=4$), правильный пятиугольник ($n=5$) и так далее.

Ответ: Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы.