Номер 22, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

22. Расскажите о гомотетии. Какие ее свойства вы знаете? Что называется центром гомотетии, коэффициентом гомотетии?

Расскажите о гомотетии.

Гомотетия (от греческих слов ὁμός — «одинаковый» и θετός — «расположенный») — это один из видов геометрических преобразований плоскости или пространства. Гомотетия является преобразованием подобия, что означает, что она переводит любую геометрическую фигуру в подобную ей фигуру.

Это преобразование определяется двумя параметрами: точкой $O$, называемой центром гомотетии, и действительным числом $k \neq 0$, называемым коэффициентом гомотетии. Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ переводит каждую точку $M$ плоскости (или пространства) в точку $M'$ таким образом, что выполняется следующее векторное равенство: $ \vec{OM'} = k \cdot \vec{OM} $

Данное равенство означает, что три точки — центр $O$, исходная точка $M$ и ее образ $M'$ — всегда лежат на одной прямой. Если коэффициент $k$ положителен ($k>0$), то точки $M$ и $M'$ располагаются по одну сторону от центра $O$. Такую гомотетию называют прямой. Если же коэффициент $k$ отрицателен ($k<0$), то точки $M$ и $M'$ располагаются по разные стороны от центра $O$, и гомотетия называется обратной.

Ответ: Гомотетия — это геометрическое преобразование подобия, которое "растягивает" или "сжимает" фигуры относительно заданной точки (центра) с определенным коэффициентом. Каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ по правилу $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — центр, а $k$ — коэффициент гомотетии.

Что называется центром гомотетии, коэффициентом гомотетии?

Центр гомотетии — это неподвижная точка $O$, относительно которой выполняется преобразование. Все прямые, проходящие через любую точку и ее образ, пересекаются в центре гомотетии. Сама точка $O$ при гомотетии переходит в себя ($ \vec{OO'} = k \cdot \vec{OO} = \vec{0} $).

Коэффициент гомотетии — это действительное число $k \neq 0$, которое определяет масштаб преобразования и его направление.

• Величина $|k|$ (модуль коэффициента) показывает, во сколько раз изменяется расстояние от центра гомотетии до любой точки: $OM' = |k| \cdot OM$.
  • Если $|k| > 1$, происходит увеличение расстояний (растяжение).
  • Если $0 < |k| < 1$, происходит уменьшение расстояний (сжатие).
• Знак коэффициента $k$ определяет направление:
  • При $k > 0$ (прямая гомотетия) точка-образ $M'$ лежит на луче $OM$.
  • При $k < 0$ (обратная гомотетия) точка-образ $M'$ лежит на луче, дополнительном к лучу $OM$.
• Частные случаи:
  • $k=1$ — тождественное преобразование (каждая точка остается на месте).
  • $k=-1$ — центральная симметрия относительно центра $O$.

Ответ: Центр гомотетии — это фиксированная точка, относительно которой происходит преобразование. Коэффициент гомотетии — это число, не равное нулю, которое задает масштаб и направление преобразования для каждой точки.

Какие ее свойства вы знаете?

Гомотетия обладает рядом важных свойств:

1. Гомотетия — преобразование подобия. Любая фигура переходит в подобную ей фигуру. Коэффициент подобия равен $|k|$.
2. Прямая переходит в параллельную прямую. Образом прямой при гомотетии является прямая, параллельная исходной. Исключение: прямая, проходящая через центр гомотетии, переходит сама в себя.
3. Сохранение углов. Гомотетия сохраняет величину углов между прямыми.
4. Изменение расстояний. Расстояние между образами любых двух точек $A'$ и $B'$ равно произведению расстояния между исходными точками $A$ и $B$ на модуль коэффициента гомотетии: $A'B' = |k| \cdot AB$.
5. Изменение площадей и объемов. Площадь фигуры-образа $S'$ связана с площадью исходной фигуры $S$ соотношением $S' = k^2 \cdot S$. Объем фигуры-образа $V'$ связан с объемом исходной фигуры $V$ соотношением $V' = |k|^3 \cdot V$.
6. Композиция гомотетий. Последовательное применение двух гомотетий с общим центром $O$ и коэффициентами $k_1$ и $k_2$ равносильно одной гомотетии с тем же центром $O$ и коэффициентом $k = k_1 \cdot k_2$.
7. Обратное преобразование. Для любой гомотетии с коэффициентом $k$ существует обратное преобразование, которое также является гомотетией с тем же центром и коэффициентом $1/k$.

На рисунке ниже показан пример гомотетии треугольника $ABC$ с коэффициентом $k=1.5$. Треугольник $A'B'C'$ подобен треугольнику $ABC$.

Ответ: Ключевые свойства гомотетии: она является преобразованием подобия, переводит прямые в параллельные им прямые, сохраняет углы, изменяет расстояния в $|k|$ раз, площади в $k^2$ раз, а объемы в $|k|^3$ раз.