Номер 24, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

24. Назовите признаки подобия прямоугольного треуголь-

ника.

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются частными случаями общих признаков подобия треугольников. Это связано с тем, что у всех прямоугольных треугольников по определению есть один равный угол — прямой, равный $90^\circ$.

Существует три основных признака подобия для прямоугольных треугольников:

1. По острому углу
Два прямоугольных треугольника подобны, если острый угол одного треугольника равен острому углу другого.
Пояснение: Этот признак является следствием первого признака подобия треугольников (по двум углам). Пусть даны два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых углы $\angle C$ и $\angle C_1$ — прямые. Если у них есть по равному острому углу, например $\angle A = \angle A_1$, то, поскольку $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$, треугольники подобны по двум углам.
Ответ:

2. По двум пропорциональным катетам
Два прямоугольных треугольника подобны, если два катета одного треугольника пропорциональны двум катетам другого.
Пояснение: Этот признак является следствием второго признака подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). В прямоугольных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ угол между катетами ($AC$, $BC$ и $A_1C_1$, $B_1C_1$) всегда прямой, то есть $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$. Если катеты пропорциональны, то есть выполняется соотношение $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$, то треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.
Ответ:

3. По пропорциональным катету и гипотенузе
Два прямоугольных треугольника подобны, если катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого.
Пояснение: Пусть в прямоугольных треугольниках $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) и $\triangle A_1B_1C_1$ ($\angle C_1 = 90^\circ$) катет и гипотенуза пропорциональны, то есть $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = k$, где $k$ — коэффициент подобия. По теореме Пифагора, $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$ и $B_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 - A_1C_1^2}$. Найдем отношение вторых катетов: $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{\sqrt{(k \cdot A_1B_1)^2 - (k \cdot A_1C_1)^2}}{\sqrt{A_1B_1^2 - A_1C_1^2}} = \frac{\sqrt{k^2(A_1B_1^2 - A_1C_1^2)}}{\sqrt{A_1B_1^2 - A_1C_1^2}} = k$. Таким образом, все три стороны треугольников пропорциональны: $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = k$. Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам).
Ответ: