Номер 31, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

31. Сколько осей симметрии и центров симметрии у окружности?

Для того чтобы ответить на вопрос, разберем понятия оси и центра симметрии применительно к окружности.

Оси симметрии

Ось симметрии фигуры — это прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Для окружности такой прямой является любая прямая, проходящая через её центр. Каждый диаметр окружности является ее осью симметрии.

На рисунке показана окружность с центром в точке $O$ и несколько её осей симметрии. Поскольку через одну точку (центр окружности) можно провести бесконечное множество прямых, то и осей симметрии у окружности бесконечно много.

Ответ: у окружности бесконечно много осей симметрии.

Центры симметрии

Центр симметрии фигуры — это точка, при повороте на $180^\circ$ вокруг которой фигура переходит сама в себя (центральная симметрия). Для окружности такой точкой является её геометрический центр.

Если взять любую точку $A$ на окружности и повернуть её на $180^\circ$ вокруг центра $O$, то она перейдет в точку $A'$, которая также лежит на окружности. Точки $A$, $O$ и $A'$ будут лежать на одной прямой (на одном диаметре), и при этом расстояние $AO$ будет равно расстоянию $OA'$. Никакая другая точка, кроме центра, не обладает таким свойством. Если выбрать любую другую точку в качестве центра поворота, окружность не совпадет сама с собой. Следовательно, такая точка единственна.

Ответ: у окружности один центр симметрии.