Номер 38, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

38. Докажите теорему о соотношении длины окружности и ее диаметра. По какой формуле можно найти длину окружности?

Докажите теорему о соотношении длины окружности и ее диаметра.

Теорема утверждает, что отношение длины любой окружности к ее диаметру является постоянной величиной. Эту постоянную обозначают греческой буквой $\pi$ (пи).

Доказательство: рассмотрим две произвольные окружности с длинами $C_1$ и $C_2$ и диаметрами $D_1$ и $D_2$. Впишем в каждую из них по правильному n-угольнику с периметрами $P_{n1}$ и $P_{n2}$.

Поскольку все правильные n-угольники подобны, отношение их периметров равно отношению радиусов ($R_1$, $R_2$) или диаметров ($D_1$, $D_2$) описанных окружностей:

$$ \frac{P_{n1}}{P_{n2}} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{D_1}{D_2} $$

Из этого соотношения, по свойству пропорции, следует, что $\frac{P_{n1}}{D_1} = \frac{P_{n2}}{D_2}$. То есть, отношение периметра вписанного правильного n-угольника к диаметру описанной окружности не зависит от размера окружности, а только от числа сторон $n$.

Длина окружности $C$ по определению является пределом, к которому стремится периметр $P_n$ вписанного в нее правильного n-угольника при неограниченном увеличении числа его сторон ($n \to \infty$).

Перейдя к пределу в полученном равенстве при $n \to \infty$, имеем:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{P_{n1}}{D_1} = \lim_{n \to \infty} \frac{P_{n2}}{D_2} $$

$$ \frac{C_1}{D_1} = \frac{C_2}{D_2} $$

Это доказывает, что отношение $\frac{C}{D}$ является постоянной величиной для любой окружности. Эта константа и есть число $\pi$.

Ответ: Теорема доказана. Отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, обозначаемая $\pi$.

По какой формуле можно найти длину окружности?

Исходя из доказанной теоремы, мы имеем фундаментальное соотношение $\frac{C}{D} = \pi$, где $C$ - длина окружности, а $D$ - ее диаметр.

Выражая из этого равенства длину окружности $C$, получаем формулу для ее вычисления через диаметр:

$$ C = \pi D $$

Так как диаметр равен удвоенному радиусу ($D = 2R$), эту формулу можно представить в другом виде, подставив $2R$ вместо $D$, и получить формулу для вычисления длины окружности через радиус:

$$ C = 2\pi R $$

Ответ: Длину окружности можно найти по формуле $C = \pi D$, используя диаметр, или по формуле $C = 2\pi R$, используя радиус.