Номер 42, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

42. Как определить площадь сектора, сегмента?

Для определения площади сектора и сегмента круга используются формулы, основанные на радиусе круга и центральном угле.

Определение площади сектора

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой между ними. Представьте себе кусок пиццы — это и есть сектор.

Площадь сектора является частью площади всего круга ($S_{круга} = \pi R^2$), пропорциональной величине центрального угла $\alpha$.

Существует две основные формулы в зависимости от единиц измерения угла:

1. Если угол $\alpha$ измеряется в градусах:
Полный круг содержит 360°. Доля сектора от всего круга равна $\frac{\alpha}{360}$.
$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \cdot \alpha}{360}$

2. Если угол $\alpha$ измеряется в радианах:
Полный круг содержит $2\pi$ радиан. Доля сектора от всего круга равна $\frac{\alpha}{2\pi}$.
$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \cdot \alpha}{2\pi} = \frac{1}{2} R^2 \alpha$

где:
• $R$ — радиус круга;
• $\alpha$ — центральный угол, ограничивающий сектор;
• $\pi$ ≈ 3.14159...

Ответ: Площадь сектора определяется по формуле $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$ для угла $\alpha$ в градусах, или $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha$ для угла $\alpha$ в радианах, где $R$ — радиус круга.

Определение площади сегмента

Круговой сегмент — это часть круга, ограниченная хордой и дугой окружности.

Площадь сегмента вычисляется как разность площадей сектора, который содержит этот сегмент, и равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой.

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle}$

Площадь треугольника с двумя сторонами $R$ и углом $\alpha$ между ними равна: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

Подставив это значение в общую формулу, получим:

1. Если угол $\alpha$ измеряется в градусах:
$S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$

2. Если угол $\alpha$ измеряется в радианах (предпочтительный вариант для этой формулы):
$S_{сегмента} = \frac{1}{2} R^2 \alpha - \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} R^2 (\alpha - \sin(\alpha))$

где:
• $R$ — радиус круга;
• $\alpha$ — центральный угол, опирающийся на дугу сегмента;
• $\sin(\alpha)$ — синус центрального угла. Важно: при вычислениях на калькуляторе убедитесь, что он настроен на те же единицы (градусы или радианы), в которых дан угол $\alpha$.

Данные формулы справедливы для меньшего сегмента (когда $\alpha < 180^\circ$ или $\alpha < \pi$ радиан). Площадь большего сегмента можно найти, вычтя площадь меньшего из площади всего круга.

Ответ: Площадь сегмента определяется как разность площади соответствующего сектора и площади треугольника: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 (\alpha_{рад} - \sin(\alpha_{рад}))$ или $S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha_{град}}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha_{град})$.