Номер 48, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

48. Какая связь существует между сторонами и диагоналями вписанного четырехугольника?

Связь между сторонами и диагоналями вписанного в окружность четырехугольника устанавливает теорема Птолемея. Она гласит, что во всяком вписанном в окружность четырехугольнике произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин его противолежащих сторон.

Рассмотрим вписанный четырехугольник ABCD, стороны которого последовательно равны $a, b, c, d$, а диагонали — $p$ и $q$.

Если обозначить длины сторон $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$ и длины диагоналей $AC=p$, $BD=q$, то теорема Птолемея выражается следующей формулой:

$ac + bd = pq$

Ниже приведено доказательство этой теоремы.

На диагонали $AC$ вписанного четырехугольника $ABCD$ выберем точку $K$ таким образом, чтобы угол $\angle ABK$ был равен углу $\angle CBD$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. В частности, вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну дугу $BC$, следовательно, они равны: $\angle BAC = \angle BDC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DBC$. В них:

1. $\angle BAK = \angle BDC$ (как вписанные углы, опирающиеся на дугу $BC$).

2. $\angle ABK = \angle DBC$ (по построению точки $K$).

Следовательно, треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DBC$ подобны по двум углам. Из их подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AK}{DC} = \frac{AB}{DB}$

Из этой пропорции получаем первое равенство:

$AK \cdot DB = AB \cdot DC$

Теперь рассмотрим другую пару треугольников: $\triangle ABD$ и $\triangle KBC$. В них:

1. $\angle ADB = \angle ACB$ (как вписанные углы, опирающиеся на дугу $AB$).

2. $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC$. Так как по построению $\angle DBC = \angle ABK$, то $\angle ABD = \angle ABC - \angle ABK = \angle KBC$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle KBC$ также подобны по двум углам. Из их подобия получаем пропорцию:

$\frac{AD}{KC} = \frac{BD}{BC}$

Отсюда следует второе равенство:

$KC \cdot BD = AD \cdot BC$

Сложим полученные два равенства:

$AK \cdot DB + KC \cdot BD = AB \cdot DC + AD \cdot BC$

Вынесем $DB$ (или $BD$) за скобки в левой части:

$BD \cdot (AK + KC) = AB \cdot DC + AD \cdot BC$

Поскольку точка $K$ была выбрана на диагонали $AC$, то сумма отрезков $AK$ и $KC$ равна длине всей диагонали $AC$, то есть $AK + KC = AC$. Подставив это в наше уравнение, получаем итоговую формулу:

$BD \cdot AC = AB \cdot CD + AD \cdot BC$

Теорема доказана.

Ответ: Связь между сторонами и диагоналями вписанного четырехугольника описывается теоремой Птолемея: произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин его противолежащих сторон. Если длины сторон четырехугольника, взятые последовательно, равны $a, b, c, d$, а длины диагоналей — $p$ и $q$, то выполняется равенство $ac + bd = pq$.