Номер 44, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

44. Что такое пропорциональные отрезки круга? Какие их свойства вы знаете?

Что такое пропорциональные отрезки круга?

Пропорциональные отрезки в круге — это отрезки хорд, секущих и касательных, связанные определенными соотношениями, которые вытекают из подобия треугольников. Эти соотношения выражаются в виде равенства произведений длин определенных отрезков. В зависимости от расположения этих отрезков, рассматривают три основных случая:

1. Отрезки, которые образуются при пересечении двух хорд внутри круга.

2. Отрезки, которые образуются двумя секущими, проведенными из одной точки вне круга.

3. Отрезки, которые образуются касательной и секущей, проведенными из одной точки вне круга.

В каждом из этих случаев существует теорема, устанавливающая пропорциональную зависимость (равенство произведений) между длинами этих отрезков.

Ответ: Пропорциональные отрезки в круге – это отрезки, на которые делятся хорды при пересечении, а также отрезки секущих и касательных, проведенных из одной точки, чьи длины связаны пропорциональными зависимостями (равенством произведений).

Какие их свойства вы знаете?

Основные свойства пропорциональных отрезков в круге формулируются в виде следующих теорем:

1. Свойство пересекающихся хорд

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются в точке внутри круга, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $P$, справедливо равенство:
$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

2. Свойство двух секущих

Теорема: Если из точки, лежащей вне круга, проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть.

Для двух секущих, проведенных из точки $P$, как показано на рисунке, справедливо равенство:
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

3. Свойство касательной и секущей (Теорема о квадрате касательной)

Теорема: Если из точки, лежащей вне круга, проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины секущей на её внешнюю часть.

Для касательной $PC$ и секущей $PA$, проведенных из точки $P$, как показано на рисунке, справедливо равенство:
$PC^2 = PA \cdot PB$

Ответ: Основные свойства пропорциональных отрезков в круге: 1) Для двух пересекающихся хорд $AB$ и $CD$ в точке $P$ верно $AP \cdot PB = CP \cdot PD$. 2) Для двух секущих, проведенных из точки $P$ (пересекающих окружность в точках $A,B$ и $C,D$, где $B$ и $D$ — ближние к $P$ точки), верно $PA \cdot PB = PC \cdot PD$. 3) Для касательной $PC$ и секущей $PA$ (пересекающей окружность в точках $A,B$, где $B$ — ближняя к $P$ точка), проведенных из точки $P$, верно $PC^2 = PA \cdot PB$.