Номер 37, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

37. Что такое центр, апофема правильного многоугольника?

Центр правильного многоугольника

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны. У каждого правильного многоугольника есть уникальная точка, называемая центром.

Эта точка обладает двумя ключевыми свойствами: 1. Она равноудалена от всех вершин многоугольника. Расстояние от центра до любой вершины называется радиусом описанной окружности и обычно обозначается буквой $R$. Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. 2. Она равноудалена от всех сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны (измеряемое по перпендикуляру) называется апофемой и обозначается буквой $a$. Вписанная окружность, касающаяся всех сторон, имеет своим радиусом апофему.

Таким образом, центр правильного многоугольника — это общая для вписанной и описанной окружностей точка. Геометрически центр можно найти как точку пересечения биссектрис углов многоугольника или как точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам (для правильного многоугольника эти точки совпадают).

Ответ: Центр правильного многоугольника — это точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон. Эта точка является центром вписанной и описанной окружностей данного многоугольника.

Апофема правильного многоугольника

Апофема (от др.-греч. ἀπόθεμα — «отложенное») правильного многоугольника — это отрезок перпендикуляра, опущенного из центра многоугольника на любую из его сторон. Термин «апофема» также используется для обозначения длины этого отрезка.

Основные свойства апофемы:

• Апофема соединяет центр многоугольника с серединой его стороны.
• Длина апофемы, обозначаемая как $a$, равна радиусу вписанной в многоугольник окружности ($a = r$).
• Апофема является ключевым элементом для вычисления площади правильного многоугольника. Площадь $S$ можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2}Pa$, где $P$ — периметр многоугольника, а $a$ — его апофема.

На рисунке ниже показан правильный шестиугольник с центром в точке $O$. Отрезок $OA$ является радиусом описанной окружности ($R$). Отрезок $OM$, опущенный перпендикулярно на сторону $AB$, является апофемой ($a$).

Ответ: Апофема правильного многоугольника — это перпендикуляр, опущенный из его центра на любую из его сторон. Длина этого перпендикуляра равна радиусу вписанной в многоугольник окружности.