Номер 39, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

39. Чему равно отношение площадей подобных треугольников, подобных многоугольников?

Это фундаментальная теорема планиметрии, которая касается связи между линейными размерами и площадью подобных фигур.

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия — это число $k$, равное отношению длин соответственных сторон этих треугольников.

Рассмотрим два подобных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

По определению подобия, их соответственные стороны пропорциональны, а углы равны:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$

$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

Площадь $\triangle ABC$ равна $S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$.

Площадь $\triangle A_1B_1C_1$ равна $S_1 = \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)$.

Из соотношений сторон мы знаем, что $A_1B_1 = k \cdot AB$ и $A_1C_1 = k \cdot AC$. Также мы знаем, что $\angle A = \angle A_1$, следовательно, $\sin(\angle A) = \sin(\angle A_1)$.

Теперь найдем отношение их площадей:

$\frac{S_1}{S} = \frac{\frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)}{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{(k \cdot AB) \cdot (k \cdot AC) \cdot \sin(\angle A)}{AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{k^2 \cdot AB \cdot AC}{AB \cdot AC} = k^2$

Таким образом, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Ответ: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответственных сторон, то есть квадрату коэффициента подобия.

Отношение площадей подобных многоугольников

Данное свойство справедливо не только для треугольников, но и для любых подобных многоугольников. Отношение площадей двух подобных многоугольников также равно квадрату коэффициента подобия.

Рассмотрим два подобных n-угольника $P$ и $P_1$ с коэффициентом подобия $k$.

Любой выпуклый многоугольник можно разбить на треугольники, проведя все диагонали из одной вершины. Разобьем многоугольник $P$ на $n-2$ треугольника $T_1, T_2, ..., T_{n-2}$. Аналогично разобьем подобный ему многоугольник $P_1$ на $n-2$ треугольника $T'_1, T'_2, ..., T'_{n-2}$, проведя диагонали из соответственной вершины.

Можно доказать, что каждая пара соответственных треугольников $(T_i, T'_i)$ является подобной с тем же коэффициентом подобия $k$.

Площадь многоугольника $P$ равна сумме площадей треугольников, на которые он разбит: $S_P = S(T_1) + S(T_2) + ... + S(T_{n-2})$.

Площадь многоугольника $P_1$ также равна сумме площадей составляющих его треугольников: $S_{P_1} = S(T'_1) + S(T'_2) + ... + S(T'_{n-2})$.

Из доказанного для треугольников мы знаем, что для каждой пары подобных треугольников $T_i$ и $T'_i$ выполняется соотношение $\frac{S(T'_i)}{S(T_i)} = k^2$, откуда $S(T'_i) = k^2 \cdot S(T_i)$.

Тогда площадь многоугольника $P_1$ можно выразить следующим образом:

$S_{P_1} = k^2 \cdot S(T_1) + k^2 \cdot S(T_2) + ... + k^2 \cdot S(T_{n-2}) = k^2 \cdot (S(T_1) + S(T_2) + ... + S(T_{n-2})) = k^2 \cdot S_P$.

Отсюда получаем искомое отношение площадей многоугольников:

$\frac{S_{P_1}}{S_P} = k^2$.

Ответ: Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их соответственных сторон, то есть квадрату коэффициента подобия.