Номер 36, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

36. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, внешних углов?

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника можно использовать метод триангуляции. Возьмем любой выпуклый многоугольник, имеющий $n$ сторон (и, соответственно, $n$ вершин). Выберем одну из его вершин и проведем из нее все возможные диагонали к другим вершинам.

Таких диагоналей будет $n-3$ (мы не можем провести диагональ к самой вершине и к двум соседним). Эти диагонали разделят $n$-угольник на $n-2$ треугольника. Например, пятиугольник ($n=5$) разделяется на $5-2=3$ треугольника.

Сумма углов любого треугольника, как известно, равна $180^\circ$. Поскольку сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников, на которые он разделен, то для нахождения искомой суммы нужно умножить $180^\circ$ на количество полученных треугольников, то есть на $n-2$.

Таким образом, формула для суммы внутренних углов $S_n$ выпуклого $n$-угольника имеет вид: $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

Ответ: Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Внешний угол выпуклого многоугольника — это угол, смежный с его внутренним углом. При каждой вершине можно построить два внешних угла (они равны как вертикальные), но для нахождения суммы традиционно берут по одному внешнему углу при каждой вершине.

Пусть $\alpha_i$ — внутренний угол при $i$-й вершине, а $\beta_i$ — соответствующий ему внешний угол. Так как они смежные, их сумма равна $180^\circ$: $\alpha_i + \beta_i = 180^\circ$

Если просуммировать все внутренние и внешние углы для многоугольника с $n$ вершинами, получим: $\sum_{i=1}^{n} (\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ = n \cdot 180^\circ$

Эту сумму можно представить как сумму всех внутренних углов и сумму всех внешних углов: $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ$

Мы уже знаем, что сумма внутренних углов $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = (n-2) \cdot 180^\circ$. Подставим это значение в предыдущее уравнение: $(n-2) \cdot 180^\circ + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ$

Теперь выразим сумму внешних углов: $\sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ$ $\sum_{i=1}^{n} \beta_i = (n - (n-2)) \cdot 180^\circ$ $\sum_{i=1}^{n} \beta_i = (n - n + 2) \cdot 180^\circ$ $\sum_{i=1}^{n} \beta_i = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Интуитивно это можно представить, если вообразить себе движение по периметру многоугольника. На каждой вершине происходит поворот на величину внешнего угла. Чтобы обойти весь многоугольник и вернуться в исходное положение с исходной ориентацией, нужно совершить полный оборот, то есть повернуться на $360^\circ$.

Ответ: Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.