Номер 34, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

34. Чему равен угол, расположенный между касательной

и хордой?

Угол, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$. К окружности в точке $A$ проведена касательная $l$ и хорда $AB$. Угол $\alpha$, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги $AB$, которую стягивает хорда. Математически это записывается как: $\alpha = \frac{1}{2} \cup AB$.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим два основных случая.

Случай 1: Хорда является диаметром.
Если хорда $AB$ является диаметром, она проходит через центр $O$. Радиус $OA$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $l$. Это означает, что угол $\alpha$ равен $90^\circ$. Дуга, которую стягивает диаметр, является полуокружностью, и ее угловая мера составляет $180^\circ$. Таким образом, равенство выполняется: $\alpha = 90^\circ = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = \frac{1}{2} \cup AB$.

Случай 2: Хорда не является диаметром.
Проведем через точку касания $A$ диаметр $AD$. Угол между касательной $l$ и диаметром $AD$ равен $90^\circ$ (свойство касательной). Угол $\alpha$ (предположим, он острый) можно представить как разность: $\alpha = \angle(l, AD) - \angle BAD = 90^\circ - \angle BAD$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как он вписан в окружность и его сторона $AD$ является диаметром, то угол $\angle ABD$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABD$ — прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому $\angle BAD + \angle BDA = 90^\circ$, откуда $\angle BAD = 90^\circ - \angle BDA$.
Подставим это выражение в формулу для $\alpha$:
$\alpha = 90^\circ - (90^\circ - \angle BDA) = \angle BDA$.
Угол $\angle BDA$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается: $\angle BDA = \frac{1}{2} \cup AB$.
Следовательно, мы получаем, что $\alpha = \frac{1}{2} \cup AB$.
Если же угол между касательной и хордой тупой, то он является смежным с острым углом $\alpha$ и равен $180^\circ - \alpha$. Он будет измеряться половиной большей дуги, дополняющей дугу $AB$ до $360^\circ$, и теорема также будет верна.

Ответ: Угол, расположенный между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой меры дуги, которую отсекает хорда.