Номер 33, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

33. Как могут располагаться две окружности относительно друг друга? Как найти расстояние между центрами окружностей?

Как могут располагаться две окружности относительно друг друга?

Взаимное расположение двух окружностей определяется соотношением между расстоянием между их центрами и их радиусами. Пусть у нас есть две окружности: одна с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, другая с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$. Обозначим расстояние между центрами как $d = |O_1O_2|$.

Существуют следующие случаи взаимного расположения:

1. Окружности не пересекаются и находятся одна вне другой.
В этом случае у окружностей нет общих точек. Расстояние между их центрами больше, чем сумма их радиусов.
Условие: $d > R_1 + R_2$.

2. Окружности касаются внешним образом.
Окружности имеют одну общую точку. Расстояние между центрами равно сумме радиусов.
Условие: $d = R_1 + R_2$.

3. Окружности пересекаются в двух точках.
Окружности имеют две общие точки. Расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности.
Условие: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

4. Окружности касаются внутренним образом.
Окружности имеют одну общую точку, при этом одна окружность находится внутри другой. Расстояние между центрами равно модулю разности радиусов.
Условие: $d = |R_1 - R_2|$, где $R_1 \ne R_2$.

5. Одна окружность находится внутри другой, не касаясь ее.
Окружности не имеют общих точек. Расстояние между центрами меньше модуля разности радиусов.
Условие: $d < |R_1 - R_2|$.

6. Окружности концентрические.
Это частный случай предыдущего расположения, когда центры окружностей совпадают. Если радиусы различны, у них нет общих точек.
Условие: $d = 0$ и $R_1 \ne R_2$.

7. Окружности совпадают.
У окружностей бесконечно много общих точек. Это происходит, когда их центры совпадают, и их радиусы равны.
Условие: $d = 0$ и $R_1 = R_2$.

Ответ: Две окружности могут не иметь общих точек (когда одна находится вне другой, или одна внутри другой), иметь одну общую точку (внешнее или внутреннее касание), иметь две общие точки (пересечение) или иметь бесконечно много общих точек (совпадение).

Как найти расстояние между центрами окружностей?

Если известны координаты центров двух окружностей в декартовой системе координат, расстояние между ними можно найти по формуле расстояния между двумя точками.

Пусть центр первой окружности находится в точке $O_1$ с координатами $(x_1, y_1)$, а центр второй окружности — в точке $O_2$ с координатами $(x_2, y_2)$.

Расстояние $d$ между центрами $O_1$ и $O_2$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Эта формула является следствием теоремы Пифагора. Отрезок $O_1O_2$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны модулям разностей соответствующих координат: $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$.

Ответ: Если центры окружностей заданы координатами $O_1(x_1, y_1)$ и $O_2(x_2, y_2)$, то расстояние $d$ между ними находится по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.