Номер 26, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26. Расскажите о пропорциональных отрезках в окружности. Какие их свойства вы знаете?

В окружности существует несколько важных свойств, связывающих длины отрезков хорд, секущих и касательных. Эти свойства основаны на подобии треугольников, которые образуются при пересечении этих линий.

1. Свойство пересекающихся хорд

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Рассмотрим две хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $P$.

Доказательство: Соединим точки $A$ и $C$, а также $B$ и $D$. Рассмотрим треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$.
1. Углы $\angle APC$ и $\angle DPB$ равны как вертикальные.
2. Углы $\angle CAP$ (он же $\angle CAB$) и $\angle BDP$ (он же $\angle CDB$) равны, так как они являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $CB$.
Следовательно, треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{BP}$
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:
$AP \cdot BP = CP \cdot DP$

Ответ: $AP \cdot BP = CP \cdot DP$

2. Свойство касательной и секущей

Теорема: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Рассмотрим точку $P$ вне окружности, из которой проведены касательная $PC$ (где $C$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$.

Доказательство: Соединим точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$. Рассмотрим треугольники $\triangle PAC$ и $\triangle PCB$.
1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.
2. Угол $\angle PCA$ образован касательной $PC$ и хордой $AC$. Его величина равна половине дуги $AC$. Угол $\angle PBC$ (он же $\angle ABC$) — вписанный и также опирается на дугу $AC$, следовательно, он тоже равен половине дуги $AC$. Таким образом, $\angle PCA = \angle PBC$.
Следовательно, треугольники $\triangle PAC$ и $\triangle PCB$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PC}{PB}$
Отсюда получаем:
$PC^2 = PA \cdot PB$

Ответ: $PC^2 = PA \cdot PB$

3. Свойство двух секущих

Теорема: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть.

Рассмотрим точку $P$ вне окружности, из которой проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $A, B$ и $C, D$ соответственно.

Доказательство: Соединим точки $A$ и $D$, а также $B$ и $C$. Рассмотрим треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$.
1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.
2. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$, то есть $\angle DAB + \angle DCB = 180^\circ$. Угол $\angle PCB$ является смежным с углом $\angle DCB$, поэтому $\angle PCB = 180^\circ - \angle DCB$. Из этих двух равенств следует, что $\angle DAB = \angle PCB$.
Следовательно, треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$
Отсюда получаем:
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Ответ: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$