Номер 25, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

25. Какие свойства биссектрисы треугольника вы знаете?

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий соответствующий угол на два равных угла. Биссектрисы треугольника обладают рядом важных свойств.

1. Теорема о биссектрисе (пропорциональные отрезки)

Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (прилежащим к этому углу).

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена биссектриса $AD$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Пусть стороны $AB = c$ и $AC = b$. Биссектриса делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$. Согласно теореме, их отношение равно отношению прилежащих сторон:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ или $\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$.

Ответ: Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

2. Точка пересечения биссектрис (инцентр)

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром или центром вписанной в треугольник окружности.

Свойство инцентра заключается в том, что он равноудален от всех трех сторон треугольника. Расстояние от инцентра до каждой из сторон является радиусом $r$ вписанной окружности.

Ответ: Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в этот треугольник окружности.

3. Формула для вычисления длины биссектрисы

Длину биссектрисы $l_a$, проведенной из вершины $A$ к стороне $a$, можно найти по нескольким формулам.
Одна из самых известных формул связывает длину биссектрисы с длинами сторон треугольника ($b$ и $c$) и отрезками ($a_1$ и $a_2$), на которые она делит противолежащую сторону $a$:
$l_a^2 = bc - a_1a_2$
Также существует формула через стороны треугольника $a, b, c$ и полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$:
$l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$
Или через косинус угла, который она делит:
$l_a = \frac{2bc \cos(\frac{A}{2})}{b+c}$

Ответ: Квадрат длины биссектрисы равен произведению прилежащих к ней сторон минус произведение отрезков, на которые она делит противолежащую сторону.

4. Угол между биссектрисами

Угол, образованный двумя биссектрисами, проведенными из двух вершин треугольника, можно вычислить через угол третьей вершины.
Например, если биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $I$, то угол между ними $\angle BIC$ вычисляется по формуле:
$\angle BIC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}$

Ответ: Угол между двумя внутренними биссектрисами треугольника равен $90^\circ$ плюс половина третьего угла.

5. Свойства биссектрисы в специальных видах треугольников

В некоторых треугольниках биссектриса обладает дополнительными свойствами.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также его медианой (делит основание пополам) и высотой (перпендикулярна основанию).
- В равностороннем треугольнике все три биссектрисы являются одновременно и медианами, и высотами.

Ответ: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой; в равностороннем треугольнике все три биссектрисы являются также медианами и высотами.