Номер 19, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

19. Что такое параллельный перенос, поворот?

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это преобразование плоскости (или пространства), при котором все точки сдвигаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это один из видов движения (изометрии), то есть преобразование, сохраняющее расстояния между точками.

Параллельный перенос задается вектором, который называется вектором переноса. Пусть задан вектор $\vec{a}$. Параллельный перенос на вектор $\vec{a}$ — это такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$.

Если точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, а вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(a_1, a_2)$, то точка $M'$, в которую переходит точка $M$, будет иметь координаты $(x', y')$, которые вычисляются по формулам:

$x' = x + a_1$

$y' = y + a_2$

Свойства параллельного переноса:

• Сохраняет расстояния между точками (является движением).
• Прямая переходит в параллельную ей прямую или в саму себя.
• Любая фигура переходит в равную ей фигуру.
• Сохраняется ориентация фигур (направление обхода вершин).
• При параллельном переносе на ненулевой вектор нет неподвижных точек.

Ответ: Параллельный перенос на заданный вектор $\vec{a}$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ фигуры отображается на такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$.

Поворот

Поворот — это преобразование плоскости (или пространства), при котором все точки поворачиваются на один и тот же угол вокруг некоторой фиксированной точки, называемой центром поворота. Это также один из видов движения (изометрии).

Поворот задается центром поворота $O$ и углом поворота $\alpha$. При повороте вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ любая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняются два условия:

1. Расстояния от центра поворота до исходной и конечной точек равны: $OM = OM'$.
2. Угол между лучами $OM$ и $OM'$ равен углу поворота: $\angle MOM' = \alpha$.

Направление поворота может быть по часовой стрелке или против часовой стрелки. В математике принято считать положительным направлением поворот против часовой стрелки.

Если поворот осуществляется вокруг начала координат $(0, 0)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки, то точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(x', y')$, которые находятся по формулам:

$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Свойства поворота:

• Сохраняет расстояния между точками (является движением).
• Единственная неподвижная точка — это центр поворота (если угол поворота не кратен $360^\circ$).
• Прямая, проходящая через центр поворота, переходит в прямую, также проходящую через центр поворота.
• Любая фигура переходит в равную ей фигуру.
• Сохраняется ориентация фигур.

Ответ: Поворот плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ отображается на такую точку $M'$, что $OM = OM'$ и угол $\angle MOM'$ равен $\alpha$.