Номер 14, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14. Что такое ломаная линия? Какие свойства она имеет?

Что такое ломаная линия?

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединенных отрезков. Эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки их соединения — вершинами ломаной.

Более формально, если даны точки $A_1, A_2, \dots, A_n$, то ломаной $A_1A_2\dots A_n$ называется фигура, образованная отрезками $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{n-1}A_n$.

Элементы ломаной:
• Вершины — точки $A_1, A_2, \dots, A_n$.
• Звенья — отрезки $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{n-1}A_n$.
• Концы — первая ($A_1$) и последняя ($A_n$) вершины.
• Соседние звенья — это звенья, имеющие общую вершину (например, $A_1A_2$ и $A_2A_3$).

Пример ломаной линии $A_1A_2A_3A_4$:

Ломаные линии бывают нескольких видов:
• Простая (несамопересекающаяся) ломаная: ее звенья не пересекаются, кроме как в вершинах.
• Самопересекающаяся ломаная: имеет хотя бы одно пересечение звеньев не в вершинах.
• Замкнутая ломаная: ее концы совпадают ($A_1=A_n$). Замкнутая простая ломаная образует многоугольник.
• Незамкнутая (открытая) ломаная: ее концы не совпадают ($A_1 \neq A_n$).

Ответ: Ломаная линия — это фигура, составленная из отрезков, расположенных так, что конец первого отрезка является началом второго, конец второго — началом третьего и т.д. Отрезки называются звеньями, а их концы — вершинами ломаной.

Какие свойства она имеет?

Основные свойства ломаной линии связаны с ее длиной и расположением в пространстве.

1. Длина ломаной. Главное численное свойство ломаной — ее длина. Длина ломаной равна сумме длин всех ее звеньев. Для ломаной $A_1A_2\dots A_n$ ее длина $L$ вычисляется по формуле:
$L = |A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_{n-1}A_n| = \sum_{i=1}^{n-1} |A_iA_{i+1}|$
где $|A_iA_{i+1}|$ — длина отрезка (звена), соединяющего вершины $A_i$ и $A_{i+1}$.

2. Основное свойство длины (неравенство ломаной). Длина любой ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
$L \geq |A_1A_n|$
Это свойство является обобщением неравенства треугольника. Равенство достигается только в том случае, если все вершины ломаной лежат на одной прямой между ее концами $A_1$ и $A_n$.

3. Свойства замкнутой ломаной. Если ломаная является замкнутой и простой (несамопересекающейся), она образует многоугольник и приобретает дополнительные свойства:
• Такая ломаная разделяет плоскость на две области: внутреннюю (ограниченную) и внешнюю (неограниченную). Это утверждение известно как теорема Жордана.
• Для многоугольника, образованного замкнутой ломаной с $n$ вершинами, сумма внутренних углов равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.

Ответ: Основные свойства ломаной — это ее длина, которая равна сумме длин ее звеньев, и неравенство ломаной, утверждающее, что ее длина не меньше расстояния между ее концами. Замкнутые простые ломаные (многоугольники) обладают дополнительными свойствами, такими как разделение плоскости и определенная сумма внутренних углов.