Номер 11, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

11. Докажите теорему косинусов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, формула имеет вид:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, где $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$ (или ее продолжение). Возможны три случая в зависимости от величины угла $\gamma$ (угла при вершине $C$).

1. Угол $\gamma$ — острый ($0^\circ < \gamma < 90^\circ$).

В этом случае высота $BH$ лежит внутри треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По определению синуса и косинуса:

$BH = a \sin(\gamma)$

$CH = a \cos(\gamma)$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHA$. Длина катета $AH$ равна разности длин $AC$ и $CH$:

$AH = AC - CH = b - a \cos(\gamma)$

По теореме Пифагора для треугольника $BHA$ имеем: $AB^2 = BH^2 + AH^2$. Подставим известные величины:

$c^2 = (a \sin(\gamma))^2 + (b - a \cos(\gamma))^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$c^2 = a^2 \sin^2(\gamma) + b^2 - 2ab \cos(\gamma) + a^2 \cos^2(\gamma)$

Сгруппируем слагаемые с $a^2$:

$c^2 = a^2 (\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma)) + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$, получаем:

$c^2 = a^2 \cdot 1 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Теорема доказана для острого угла.

2. Угол $\gamma$ — тупой ($90^\circ < \gamma < 180^\circ$).

В этом случае высота $BH$ падает на продолжение стороны $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Угол, смежный с $\gamma$, равен $\angle BCH = 180^\circ - \gamma$. По определению синуса и косинуса:

$BH = a \sin(180^\circ - \gamma) = a \sin(\gamma)$

$CH = a \cos(180^\circ - \gamma) = -a \cos(\gamma)$ (длина отрезка $CH$ положительна, так как $\cos(\gamma)$ отрицателен для тупого угла).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHA$. Длина катета $AH$ равна сумме длин $AC$ и $CH$:

$AH = AC + CH = b + (-a \cos(\gamma)) = b - a \cos(\gamma)$

По теореме Пифагора для треугольника $BHA$: $AB^2 = BH^2 + AH^2$. Подставим выражения для $BH$ и $AH$:

$c^2 = (a \sin(\gamma))^2 + (b - a \cos(\gamma))^2$

Это выражение в точности совпадает с выражением, полученным в первом случае. Его преобразование приводит к тому же результату:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Теорема доказана для тупого угла.

3. Угол $\gamma$ — прямой ($\gamma = 90^\circ$).

В этом случае треугольник $ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $c$. Теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.

По теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.

Применим формулу теоремы косинусов для $\gamma = 90^\circ$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(90^\circ)$

Так как $\cos(90^\circ) = 0$, то:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0$

$c^2 = a^2 + b^2$

Результат совпадает с теоремой Пифагора, следовательно, теорема косинусов верна и для прямого угла.

Таким образом, теорема доказана для любого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема косинусов доказана. Для произвольного треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ справедливо равенство: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.