Номер 6, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6. Докажите единственность разложения векторов по базису.

Доказательство единственности разложения вектора по базису проводится методом от противного.

Пусть в некотором векторном пространстве задан базис, состоящий из векторов $\{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots, \vec{e_n} \}$. По определению, базисные векторы являются линейно независимыми.

Предположим, что разложение не является единственным. Это значит, что существует некоторый вектор $\vec{a}$, который можно разложить по этому базису как минимум двумя различными способами. То есть, существуют два разных набора коэффициентов (координат) $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ и $\{y_1, y_2, \dots, y_n\}$, такие что:

$\vec{a} = x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} + \dots + x_n \vec{e_n}$

и в то же время

$\vec{a} = y_1 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} + \dots + y_n \vec{e_n}$

Поскольку мы предположили, что наборы коэффициентов различны, то должен найтись хотя бы один индекс $i$ (где $1 \le i \le n$), для которого выполняется неравенство $x_i \neq y_i$.

Приравняем правые части двух представлений вектора $\vec{a}$:

$x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} + \dots + x_n \vec{e_n} = y_1 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} + \dots + y_n \vec{e_n}$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и сгруппируем их при одинаковых базисных векторах:

$(x_1 - y_1)\vec{e_1} + (x_2 - y_2)\vec{e_2} + \dots + (x_n - y_n)\vec{e_n} = \vec{0}$

Мы получили линейную комбинацию базисных векторов, которая равна нулевому вектору ($\vec{0}$). По определению, векторы базиса $\{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots, \vec{e_n} \}$ являются линейно независимыми. Линейная независимость векторов означает, что их линейная комбинация равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все коэффициенты этой комбинации равны нулю.

Следовательно, для всех $i$ от 1 до $n$ должно выполняться равенство:

$x_i - y_i = 0$

Из этого следует, что $x_i = y_i$ для всех $i = 1, 2, \dots, n$.

Это означает, что два набора коэффициентов полностью совпадают. Но это прямо противоречит нашему первоначальному предположению о том, что они были различны (т.е. что $x_i \neq y_i$ хотя бы для одного индекса $i$).

Таким образом, наше исходное предположение было неверным, и разложение любого вектора по заданному базису является единственным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Единственность разложения вектора по базису доказывается методом от противного. Предположение о существовании двух различных разложений для одного и того же вектора приводит к формированию линейной комбинации базисных векторов, равной нулевому вектору. В силу линейной независимости базисных векторов, все коэффициенты этой комбинации должны быть равны нулю. Это, в свою очередь, означает, что коэффициенты двух исходных разложений попарно равны, что противоречит предположению об их различии. Следовательно, разложение вектора по базису единственно.