Страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

32. Напишите формулу уравнения эллипса, гиперболы и параболы.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

$y^2 = 2px$

Уравнение эллипса
Каноническое (стандартное) уравнение эллипса с центром в начале координат $(0, 0)$ и полуосями, расположенными на осях координат, имеет вид: $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
Здесь $a$ и $b$ — длины большой и малой полуосей эллипса соответственно, при этом $a > 0$ и $b > 0$. Если $a > b$, то фокусы эллипса лежат на оси $Ox$ в точках $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0)$, где $c = \sqrt{a^2 - b^2}$.
Ответ: $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $

Уравнение гиперболы
Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат $(0, 0)$ и действительной осью, совпадающей с осью $Ox$, имеет вид: $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
Здесь $a$ — длина действительной полуоси, $b$ — длина мнимой полуоси, при этом $a > 0$ и $b > 0$. Фокусы гиперболы лежат на оси $Ox$ в точках $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0)$, где $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Ответ: $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $

Уравнение параболы
Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и осью симметрии, совпадающей с осью $Ox$, имеет вид: $ y^2 = 2px $
Здесь $p$ — фокальный параметр, равный расстоянию от фокуса до директрисы. Фокус параболы находится в точке $F(\frac{p}{2}, 0)$, а уравнение ее директрисы $x = -\frac{p}{2}$. Если $p > 0$, ветви параболы направлены вправо, если $p < 0$ — влево.
Ответ: $ y^2 = 2px $

33. Как определяются синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°?

Для определения синуса, косинуса и тангенса углов в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ используется единичная полуокружность, построенная в прямоугольной (декартовой) системе координат.

Рассмотрим полуокружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом, равным единице ($R=1$), расположенную в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Любому углу $\alpha$ из диапазона от $0^\circ$ до $180^\circ$ на этой полуокружности соответствует единственная точка $M$. Угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси абсцисс ($Ox$) против часовой стрелки. Пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y)$.

Синус угла α
Синусом угла $\alpha$ (обозначается $\sin(\alpha)$) называется ордината (координата $y$) точки $M$ на единичной полуокружности.
$ \sin(\alpha) = y $
Для любого угла $\alpha$ в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ синус является неотрицательным числом, так как точка $M$ находится в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Значения синуса лежат в пределах от 0 до 1: $0 \le \sin(\alpha) \le 1$.
Ответ: Синусом угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ называется ордината точки единичной полуокружности, соответствующей углу $\alpha$.

Косинус угла α
Косинусом угла $\alpha$ (обозначается $\cos(\alpha)$) называется абсцисса (координата $x$) точки $M$ на единичной полуокружности.
$ \cos(\alpha) = x $
Для углов $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ значения косинуса лежат в пределах от -1 до 1: $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$. Для острых углов ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$) косинус положителен, а для тупых углов ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$) — отрицателен. При $\alpha = 90^\circ$ косинус равен нулю.
Ответ: Косинусом угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ называется абсцисса точки единичной полуокружности, соответствующей углу $\alpha$.

Тангенс угла α
Тангенсом угла $\alpha$ (обозначается $\tan(\alpha)$ или $\text{tg}(\alpha)$) называется отношение синуса этого угла к его косинусу.
$ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x} $
Тангенс определён для всех углов $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$, кроме $\alpha=90^\circ$. При $\alpha=90^\circ$ точка $M$ имеет координаты $(0,1)$, поэтому абсцисса $x=0$, и деление на ноль невозможно. Следовательно, $\tan(90^\circ)$ не определён.
Ответ: Тангенсом угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ называется отношение синуса угла к его косинусу; тангенс не определён для угла $90^\circ$.

34. Напишите формулы приведения.

Формулы приведения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрические функции углов вида $\frac{\pi n}{2} \pm \alpha$ (или $90^\circ \cdot n \pm \alpha$) через функции острого угла $\alpha$. Это упрощает вычисления и преобразование тригонометрических выражений.

Чтобы не заучивать все формулы, можно использовать простое мнемоническое правило, состоящее из двух шагов:

1. Определение знака итоговой функции

Знак в правой части формулы совпадает со знаком исходной функции в той координатной четверти, где находится угол $\frac{\pi n}{2} \pm \alpha$. При этом угол $\alpha$ условно считается острым (из первой четверти). Распределение знаков тригонометрических функций по четвертям показано на рисунке:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): все функции положительны.

• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): положителен только синус ($\sin$).

• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): положительны тангенс ($\text{tg}$) и котангенс ($\text{ctg}$).

• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): положителен только косинус ($\cos$).

2. Определение названия итоговой функции

• Если исходный угол содержит точки $\pi$ или $2\pi$ (т.е. $180^\circ$ или $360^\circ$, которые лежат на горизонтальной оси), то название функции не меняется. Например, $\sin(\pi - \alpha)$ останется функцией синуса.

• Если исходный угол содержит точки $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (т.е. $90^\circ$ или $270^\circ$, которые лежат на вертикальной оси), то название функции меняется на кофункцию: $\sin \leftrightarrow \cos$, $\text{tg} \leftrightarrow \text{ctg}$. Например, $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ станет функцией синуса.

Применение этих двух правил позволяет вывести любую из формул приведения. Ниже приведен их полный список.

Ответ:

Формулы для углов вида $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ ($90^\circ \pm \alpha$)

$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$

$\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \alpha$

$\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg} \alpha$

$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha$

$\text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg} \alpha$

$\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg} \alpha$

Формулы для углов вида $\pi \pm \alpha$ ($180^\circ \pm \alpha$)

$\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$

$\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$

$\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg} \alpha$

$\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg} \alpha$

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$

$\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$

$\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha$

$\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg} \alpha$

Формулы для углов вида $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$ ($270^\circ \pm \alpha$)

$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$

$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha$

$\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \alpha$

$\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{tg} \alpha$

$\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha$

$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha$

$\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg} \alpha$

$\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg} \alpha$

Формулы для углов вида $2\pi \pm \alpha$ ($360^\circ \pm \alpha$) и отрицательных углов

$\sin(2\pi + \alpha) = \sin \alpha$ (периодичность)

$\sin(2\pi - \alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin \alpha$

$\cos(2\pi + \alpha) = \cos \alpha$ (периодичность)

$\cos(2\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos \alpha$

$\text{tg}(2\pi - \alpha) = \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg} \alpha$

$\text{ctg}(2\pi - \alpha) = \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg} \alpha$

1. Что такое скалярная величина, векторная величина? Что такое коллинеарные векторы? Какая связь между вектором и параллельным переносом?

Что такое скалярная величина, векторная величина?

Скалярная величина (или просто скаляр) — это величина, которая полностью определяется своим числовым значением в определённой системе единиц. Скалярные величины не имеют направления. Примерами скалярных величин являются длина (например, 5 метров), масса (10 килограммов), температура (20 °C), время (15 секунд), площадь, объём, энергия.

Векторная величина (или просто вектор) — это величина, которая характеризуется как числовым значением (называемым модулем или длиной вектора), так и направлением в пространстве. Геометрически вектор представляется в виде направленного отрезка, у которого есть начало и конец. Примерами векторных величин являются перемещение, скорость, ускорение, сила, импульс. Вектор обычно обозначают буквой со стрелкой наверху, например $\vec{a}$, или жирной буквой, например $\mathbf{a}$.

Ответ: Скалярная величина характеризуется только числовым значением (масса, температура), а векторная — и числовым значением (модулем), и направлением (скорость, сила).

Что такое коллинеарные векторы?

Коллинеарными называются два ненулевых вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор (вектор, у которого начало и конец совпадают) по определению считается коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы могут быть: • Сонаправленными, если они имеют одинаковое направление. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. • Противоположно направленными, если их направления противоположны. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

С алгебраической точки зрения, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что выполняется равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Если $k > 0$, векторы сонаправлены. Если $k < 0$, векторы противоположно направлены. Для векторов, заданных на плоскости координатами $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$, условием коллинеарности является пропорциональность их координат: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.

На рисунке векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ коллинеарны, так как лежат на параллельных прямых. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ являются сонаправленными. Вектор $\vec{d}$ является противоположно направленным по отношению к векторам $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Ответ: Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной или параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными (иметь одинаковое направление) или противоположно направленными.

Какая связь между вектором и параллельным переносом?

Связь между вектором и параллельным переносом прямая и определяющая: параллельный перенос задается вектором.

Параллельный перенос — это такое преобразование (движение) плоскости или пространства, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Вектор как раз и несет в себе эту информацию: его направление указывает, куда смещать точки, а его длина (модуль) — на какое расстояние.

Таким образом, при параллельном переносе на вектор $\vec{v}$ каждая точка $A$ фигуры переходит в такую точку $A'$, что вектор $\vec{AA'}$ равен вектору $\vec{v}$. То есть, $\vec{AA'} = \vec{v}$.

На рисунке треугольник $A'B'C'$ получен из треугольника $ABC$ параллельным переносом на вектор $\vec{v}$. Для всех вершин выполняется: $\vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'} = \vec{v}$. В координатной форме, если точка $A$ имеет координаты $(x, y)$, а вектор переноса $\vec{v} = (a, b)$, то ее образ, точка $A'$, будет иметь координаты $(x+a, y+b)$.

Ответ: Параллельный перенос — это смещение всех точек на определенный вектор. Этот вектор называется вектором переноса, он задает направление и расстояние смещения.

2. Что такое модуль векторов? Какие векторы называют равными?

Что такое модуль векторов?

Модулем (или длиной, или абсолютной величиной) вектора называют длину отрезка, который изображает данный вектор. Модуль вектора является скалярной (числовой) величиной и всегда неотрицателен.
Модуль вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$.
Если вектор задан своими координатами на плоскости, $\vec{a} = (a_x; a_y)$, то его модуль вычисляется по формуле, которая является следствием теоремы Пифагора:
$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
Например, для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1, y_1)$ и концом в точке $B(x_2, y_2)$, его координаты равны $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$, а модуль:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Аналогично, для вектора в трехмерном пространстве $\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$, его модуль равен:
$|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}$
Модуль нулевого вектора (вектора, у которого начало и конец совпадают) равен нулю: $|\vec{0}| = 0$.

Ответ: Модуль вектора — это длина отрезка, изображающего вектор. Это неотрицательное число, которое характеризует "силу" или "величину" вектора.

Какие векторы называют равными?

Два ненулевых вектора называются равными, если они удовлетворяют одновременно двум условиям:
1. Их модули (длины) равны.
2. Они сонаправлены (то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну и ту же сторону).



На рисунке векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то есть $\vec{a} = \vec{b}$, так как они параллельны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.
С геометрической точки зрения, равенство векторов означает, что один вектор можно получить из другого путем параллельного переноса. Из этого следует важное свойство: равные векторы имеют одинаковые координаты.
Если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x; a_y)$ и вектор $\vec{c}$ имеет координаты $(c_x; c_y)$, то равенство $\vec{a} = \vec{c}$ выполняется тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны:
$a_x = c_x$ и $a_y = c_y$.
Это координатное определение равенства векторов является наиболее удобным для решения практических задач.

Ответ: Векторы называют равными, если они сонаправлены и их длины (модули) равны. В координатной форме это означает, что их соответствующие координаты равны.

3. Что такое сумма векторов? Назовите правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов.

Суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой третий вектор $\vec{c}$, начало которого совпадает с началом вектора $\vec{a}$, а конец — с концом вектора $\vec{b}$, при условии, что вектор $\vec{b}$ отложен от конца вектора $\vec{a}$. Иными словами, это результат последовательного перемещения, описываемого каждым из векторов. Если векторы заданы своими координатами в некоторой системе, например $\vec{a} = \{a_x; a_y\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y\}$, то их сумма — это вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, координаты которого равны суммам соответствующих координат исходных векторов: $\vec{c} = \{a_x + b_x; a_y + b_y\}$.

Для геометрического нахождения суммы векторов существуют два основных правила: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника

Данное правило является наиболее универсальным способом геометрического сложения векторов. Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника, нужно:
1. От произвольной точки A отложить вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{a}$.
2. От конца первого вектора (точки B) отложить вектор $\vec{BC}$, равный вектору $\vec{b}$.
3. Суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будет вектор $\vec{c}$, который соединяет начало первого вектора (точка A) с концом второго (точка C). Таким образом, $\vec{c} = \vec{AC}$.

Это правило можно сформулировать в виде векторного равенства, известного как равенство Шаля: для любых трех точек A, B и C выполняется $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Ответ: Правило треугольника гласит, что если два вектора отложены последовательно один за другим так, что начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма представляет собой вектор, направленный из начала первого вектора в конец второго, и является замыкающей стороной образовавшегося треугольника.

Правило параллелограмма

Это правило удобно применять, когда векторы имеют общее начало. Для сложения двух неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу параллелограмма, нужно:
1. Отложить оба вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной общей точки O. Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.
2. Достроить на этих векторах, как на смежных сторонах, параллелограмм OACB.
3. Диагональ этого параллелограмма, выходящая из общего начала O, и будет вектором суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$. То есть, $\vec{c} = \vec{OC}$.

Правило параллелограмма является следствием правила треугольника, так как в параллелограмме OACB сторона AC равна и параллельна вектору $\vec{OB}$. Следовательно, $\vec{AC} = \vec{b}$, и по правилу треугольника для треугольника OAC имеем: $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.
Ответ: Правило параллелограмма гласит, что сумма двух векторов, приложенных к одной точке, равна вектору, который совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, и исходит из их общего начала.

4. Что такое разность векторов? Определите действие умножения вектора на число. Какими свойствами обладает это действие?

Что такое разность векторов?

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Это записывается как $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, из чего следует, что $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

Другое эквивалентное определение: разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ есть сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$ (то есть вектора $-\vec{b}$): $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону.

Геометрическое построение:
Чтобы построить вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$, нужно отложить оба вектора от одной общей начальной точки (например, точки O). Пусть $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$. Тогда вектор разности будет вектором, соединяющим конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$, то есть вектор $\vec{BA}$.

В координатах:
Если векторы заданы своими координатами в некоторой системе координат, например, на плоскости $\vec{a} = (a_x; a_y)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y)$, то координаты их разности равны разностям соответствующих координат: $\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x; a_y - b_y)$.

Ответ: Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это вектор $\vec{c}$, такой что $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$. Геометрически, если векторы отложены из одной точки, то разность — это вектор, идущий от конца вычитаемого вектора ($\vec{b}$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{a}$). Координаты вектора разности равны разностям соответствующих координат исходных векторов.

Определите действие умножения вектора на число.

Умножением (или произведением) ненулевого вектора $\vec{a}$ на число (скаляр) $k$ называется новый вектор $\vec{b} = k\vec{a}$, который удовлетворяет следующим условиям:

1. Длина (модуль) нового вектора равна произведению модуля числа $k$ на длину исходного вектора $\vec{a}$: $|\vec{b}| = |k \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

2. Направление нового вектора: если $k > 0$, то вектор $\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$ (направлен в ту же сторону), что обозначается как $\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$; если $k < 0$, то вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$ (направлен в противоположную сторону), что обозначается как $\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$.

Если $k = 0$ или $\vec{a} = \vec{0}$ (нулевой вектор), то их произведение $k\vec{a}$ является нулевым вектором $\vec{0}$.

В координатах:
Если вектор задан своими координатами, например, в пространстве $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$, то для умножения вектора на число $k$ необходимо каждую его координату умножить на это число: $k\vec{a} = (k \cdot a_x; k \cdot a_y; k \cdot a_z)$.

Ответ: Умножение вектора $\vec{a}$ на число $k$ — это операция, в результате которой получается новый вектор, длина которого равна $|\vec{a}| \cdot |k|$, а направление совпадает с направлением $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно ему при $k < 0$. Если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$, результат - нулевой вектор.

Какими свойствами обладает это действие?

Действие умножения вектора на число обладает следующими свойствами. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любых чисел (скаляров) $k$, $m$:

1. Сочетательный закон (ассоциативность) относительно числового множителя:
$(k \cdot m)\vec{a} = k(m\vec{a})$

2. Первый распределительный закон (дистрибутивность) относительно суммы чисел:
$(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$

3. Второй распределительный закон (дистрибутивность) относительно суммы векторов:
$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

4. Свойство единичного множителя:
$1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

Ответ: Умножение вектора на число обладает свойствами ассоциативности ($(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$), дистрибутивности относительно суммы скаляров ($(k+m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$) и дистрибутивности относительно суммы векторов ($k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$), а также свойством единичного множителя ($1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$).

5. Что такое угол между векторами?

5. Угол между двумя ненулевыми векторами — это наименьший угол, образованный лучами, на которых лежат эти векторы, при условии, что их начала совмещены.

Геометрическое определение

Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Чтобы найти угол между ними, нужно отложить их от одной произвольной точки $O$, получив векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется угол $\angle AOB$. Обозначим этот угол $\alpha$. По определению, его величина находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан).

Частные случаи
– Если векторы сонаправлены (направления совпадают), угол между ними равен $0^\circ$.
– Если векторы противоположно направлены, угол между ними равен $180^\circ$ ($\pi$ радиан).
– Если векторы перпендикулярны (ортогональны), угол между ними равен $90^\circ$ ($\pi/2$ радиан).
– Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между ними не определён.

Алгебраическое определение (через скалярное произведение)

Угол между векторами можно вычислить, используя их скалярное произведение. По определению, скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно произведению их длин (модулей) на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Из этой формулы можно выразить косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Эта формула позволяет найти угол, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной системе, например, на плоскости $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$, то вычисления производятся следующим образом:
1. Находится скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.
2. Находятся длины векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ и $|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}$.
3. Значения подставляются в формулу для косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

После вычисления значения $\cos(\alpha)$, сам угол $\alpha$ можно найти с помощью функции арккосинуса: $\alpha = \arccos(\cos(\alpha))$. Аналогичные формулы применяются и для векторов в трехмерном пространстве.

Ответ: Угол между двумя ненулевыми векторами – это наименьший угол между ними, когда их начала совмещены в одной точке. Величина угла находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Алгебраически косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется через их скалярное произведение по формуле $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

6. Докажите единственность разложения векторов по базису.

Доказательство единственности разложения вектора по базису проводится методом от противного.

Пусть в некотором векторном пространстве задан базис, состоящий из векторов $\{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots, \vec{e_n} \}$. По определению, базисные векторы являются линейно независимыми.

Предположим, что разложение не является единственным. Это значит, что существует некоторый вектор $\vec{a}$, который можно разложить по этому базису как минимум двумя различными способами. То есть, существуют два разных набора коэффициентов (координат) $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ и $\{y_1, y_2, \dots, y_n\}$, такие что:

$\vec{a} = x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} + \dots + x_n \vec{e_n}$

и в то же время

$\vec{a} = y_1 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} + \dots + y_n \vec{e_n}$

Поскольку мы предположили, что наборы коэффициентов различны, то должен найтись хотя бы один индекс $i$ (где $1 \le i \le n$), для которого выполняется неравенство $x_i \neq y_i$.

Приравняем правые части двух представлений вектора $\vec{a}$:

$x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} + \dots + x_n \vec{e_n} = y_1 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} + \dots + y_n \vec{e_n}$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и сгруппируем их при одинаковых базисных векторах:

$(x_1 - y_1)\vec{e_1} + (x_2 - y_2)\vec{e_2} + \dots + (x_n - y_n)\vec{e_n} = \vec{0}$

Мы получили линейную комбинацию базисных векторов, которая равна нулевому вектору ($\vec{0}$). По определению, векторы базиса $\{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots, \vec{e_n} \}$ являются линейно независимыми. Линейная независимость векторов означает, что их линейная комбинация равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все коэффициенты этой комбинации равны нулю.

Следовательно, для всех $i$ от 1 до $n$ должно выполняться равенство:

$x_i - y_i = 0$

Из этого следует, что $x_i = y_i$ для всех $i = 1, 2, \dots, n$.

Это означает, что два набора коэффициентов полностью совпадают. Но это прямо противоречит нашему первоначальному предположению о том, что они были различны (т.е. что $x_i \neq y_i$ хотя бы для одного индекса $i$).

Таким образом, наше исходное предположение было неверным, и разложение любого вектора по заданному базису является единственным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Единственность разложения вектора по базису доказывается методом от противного. Предположение о существовании двух различных разложений для одного и того же вектора приводит к формированию линейной комбинации базисных векторов, равной нулевому вектору. В силу линейной независимости базисных векторов, все коэффициенты этой комбинации должны быть равны нулю. Это, в свою очередь, означает, что коэффициенты двух исходных разложений попарно равны, что противоречит предположению об их различии. Следовательно, разложение вектора по базису единственно.

7. Что такое координаты вектора? Как выполняются действия сложения и умножения на число вектора с заданными координатами? Как определяется его модуль?

Что такое координаты вектора?

Координатами вектора в прямоугольной системе координат называют пару чисел, которые определяют проекции вектора на координатные оси. Если вектор $\vec{a}$ имеет начало в точке $A(x_1, y_1)$ и конец в точке $B(x_2, y_2)$, то его координаты равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора. Обозначаются координаты как $\vec{a} = (a_x, a_y)$ и вычисляются по формулам: $a_x = x_2 - x_1$ и $a_y = y_2 - y_1$. Если начало вектора совпадает с началом координат $O(0, 0)$, то его координаты равны координатам его конечной точки.

Ответ: Координатами вектора $\vec{AB}$, где $A(x_1, y_1)$ — начальная точка, а $B(x_2, y_2)$ — конечная, является упорядоченная пара чисел $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$.

Как выполняются действия сложения и умножения на число вектора с заданными координатами?

Все действия с векторами, заданными в координатной форме, выполняются покоординатно.

Сложение векторов: При сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются. Суммой векторов $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$ будет вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, координаты которого равны $(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$.

Умножение вектора на число: При умножении вектора на число (скаляр) каждая его координата умножается на это число. Произведением вектора $\vec{a} = (x, y)$ на число $k$ будет вектор $k\vec{a}$, координаты которого равны $(kx, ky)$.

Ответ: Для векторов $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$ и числа $k$ сложение выполняется по правилу $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$, а умножение на число — по правилу $k\vec{a} = (kx_1, ky_1)$.

Как определяется его модуль?

Модулем (или длиной) вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор. Если вектор задан своими координатами $\vec{a} = (x, y)$, его модуль, обозначаемый $|\vec{a}|$, можно найти с помощью теоремы Пифагора. Вектор рассматривается как гипотенуза прямоугольного треугольника, катетами которого служат проекции вектора на оси координат, то есть его координаты $x$ и $y$.

Ответ: Модуль вектора $\vec{a} = (x, y)$ определяется как квадратный корень из суммы квадратов его координат: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

8. Что такое скалярное произведение векторов?

Определение

Скалярное произведение двух векторов — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число (а не вектор). Скалярное произведение обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$. Существует два эквивалентных определения скалярного произведения: геометрическое и алгебраическое.

Геометрическое определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется произведение их длин (модулей) на косинус угла $\alpha$ между ними.

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, а $\alpha$ — угол между этими векторами.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение равно нулю.

Алгебраическое определение (в координатах)

Скалярным произведением двух векторов, заданных своими координатами в прямоугольной системе координат, называется сумма произведений их соответствующих координат.

Для векторов на плоскости $\vec{a} = \{a_x; a_y\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y\}$:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $

Для векторов в трехмерном пространстве $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $

Основные свойства скалярного произведения

1. Коммутативность (переместительный закон): $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $.

2. Дистрибутивность (распределительный закон): $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} $.

3. Сочетательный закон относительно скалярного множителя $k$: $ (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) $.

4. Скалярный квадрат вектора. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $ \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 $.

5. Условие перпендикулярности (ортогональности). Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Это следует из геометрического определения, так как $\cos(90^\circ) = 0$.

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b} $

Геометрический и физический смысл

Знак скалярного произведения зависит от угла между векторами:

• Если угол $\alpha$ острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$), то $\cos(\alpha) > 0$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.

• Если угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$), то $\cos(\alpha) < 0$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

• Если угол $\alpha$ прямой ($\alpha = 90^\circ$), то $\cos(\alpha) = 0$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Скалярное произведение можно интерпретировать как произведение длины одного вектора на проекцию второго вектора на ось первого: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}| \cdot (|\vec{a}| \cos \alpha) = |\vec{b}| \cdot пр_{\vec{b}}\vec{a}$.

Основное практическое применение — нахождение угла между векторами:

$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}} $

В физике скалярное произведение используется для вычисления работы $A$, совершаемой силой $\vec{F}$ при перемещении тела на вектор $\vec{s}$: $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$.

Ответ: Скалярное произведение векторов — это число (скаляр), которое можно найти двумя основными способами: 1) как произведение длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha$; 2) как сумму произведений соответствующих координат векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + \dots$. Главное применение скалярного произведения — определение угла между векторами и проверка их перпендикулярности (произведение равно нулю, если векторы перпендикулярны).

9. Определите координаты центра тяжести треугольника, применив элементы векторной алгебры.

Для определения координат центра тяжести (центроида) треугольника с помощью векторной алгебры, рассмотрим треугольник с вершинами в точках A, B и C. Пусть их положение в пространстве задано радиус-векторами $\vec{r_A}$, $\vec{r_B}$ и $\vec{r_C}$ соответственно, проведенными из начала координат O. Координаты вершин: $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$.

Центр тяжести треугольника, который также называют центроидом, является точкой пересечения его медиан. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Рассмотрим медиану AM, где M — середина стороны BC. Радиус-вектор точки M, как середины отрезка BC, находится как среднее арифметическое радиус-векторов точек B и C:

$\vec{r_M} = \frac{\vec{r_B} + \vec{r_C}}{2}$

Пусть G — центр тяжести треугольника. Точка G лежит на медиане AM и делит ее в отношении $AG : GM = 2 : 1$. По формуле деления отрезка в данном отношении, радиус-вектор точки G ($\vec{r_G}$) можно выразить через радиус-векторы точек A и M:

$\vec{r_G} = \frac{1 \cdot \vec{r_A} + 2 \cdot \vec{r_M}}{1 + 2} = \frac{\vec{r_A} + 2\vec{r_M}}{3}$

Теперь подставим выражение для $\vec{r_M}$ в эту формулу:

$\vec{r_G} = \frac{\vec{r_A} + 2 \left( \frac{\vec{r_B} + \vec{r_C}}{2} \right)}{3} = \frac{\vec{r_A} + (\vec{r_B} + \vec{r_C})}{3}$

Таким образом, мы получили векторную формулу для радиус-вектора центра тяжести:

$\vec{r_G} = \frac{\vec{r_A} + \vec{r_B} + \vec{r_C}}{3}$

Это означает, что радиус-вектор центра тяжести треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин.

Перейдем от векторного представления к координатному. Пусть центр тяжести G имеет координаты $(x_G, y_G, z_G)$. Тогда его радиус-вектор $\vec{r_G} = \{x_G, y_G, z_G\}$. Аналогично для вершин A, B и C: $\vec{r_A} = \{x_A, y_A, z_A\}$, $\vec{r_B} = \{x_B, y_B, z_B\}$, $\vec{r_C} = \{x_C, y_C, z_C\}$.

Приравнивая соответствующие компоненты векторов в полученной формуле, находим координаты центра тяжести:

$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

$z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$

Эти формулы показывают, что каждая координата центра тяжести треугольника является средним арифметическим соответствующих координат его вершин.

Ответ: Координаты центра тяжести $G(x_G, y_G, z_G)$ треугольника с вершинами $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$ определяются как среднее арифметическое соответствующих координат вершин: $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$, $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$, $z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$.

10. Что такое решение треугольников?

Решение треугольников — это процесс нахождения неизвестных элементов треугольника (длин сторон и величин углов) по уже известным. Любой треугольник имеет шесть основных элементов: три стороны (обозначим их $a, b, c$) и три угла ($\alpha, \beta, \gamma$), расположенных напротив соответствующих сторон. Задача считается решенной, когда все шесть элементов определены. Для однозначного определения треугольника обычно требуется знать три его элемента, при этом как минимум один из них должен быть стороной.

Для решения треугольников используются фундаментальные тригонометрические теоремы и свойства. Ключевыми инструментами являются:

• Теорема синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
• Теорема косинусов, являющаяся обобщением теоремы Пифагора для произвольного треугольника: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$. Она связывает длины трех сторон с косинусом одного из углов.
• Свойство суммы углов треугольника, согласно которому сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
• В частном случае для прямоугольных треугольников используются теорема Пифагора ($a^2+b^2=c^2$) и определения тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс).

Существуют четыре типовые задачи на решение треугольников, в зависимости от набора известных элементов.

Первый случай: известны одна сторона и два угла (например, сторона $a$ и углы $\beta, \gamma$). Сначала находится третий угол из условия $\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma)$. Затем, используя теорему синусов, вычисляются две оставшиеся стороны: $b = a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$ и $c = a \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$.

Второй случай: известны две стороны и угол между ними (например, стороны $a, b$ и угол $\gamma$). Третья сторона $c$ находится по теореме косинусов: $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma}$. После этого, используя теорему синусов, можно найти второй угол (например, $\alpha = \arcsin\left(\frac{a \sin \gamma}{c}\right)$), а третий угол — из свойства суммы углов: $\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$.

Третий случай: известны все три стороны ($a, b, c$). В этом случае необходимо проверить выполнимость неравенства треугольника (сумма двух любых сторон должна быть больше третьей). Углы находятся по теореме косинусов. Например, для угла $\gamma$ формула будет такой: $\gamma = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$. Аналогично находятся остальные углы.

Четвертый случай: известны две стороны и угол, противолежащий одной из них (например, стороны $a, b$ и угол $\alpha$). Этот случай является неоднозначным и может иметь ноль, одно или два решения. По теореме синусов находится синус угла $\beta$: $\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}$. В зависимости от величины $\frac{b \sin \alpha}{a}$ (больше 1, равно 1 или меньше 1) определяется количество возможных треугольников. Для каждого возможного решения довычисляются оставшиеся угол и сторона.

Решение треугольников имеет большое практическое значение в таких областях, как геодезия, астрономия, навигация, физика и инженерия для выполнения косвенных измерений, когда прямое измерение расстояний или углов невозможно или затруднено.

Ответ: Решение треугольников — это нахождение всех неизвестных элементов треугольника (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (из которых хотя бы один является стороной). Эта задача решается с помощью теоремы синусов, теоремы косинусов и теоремы о сумме углов треугольника.

11. Докажите теорему косинусов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, формула имеет вид:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, где $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$ (или ее продолжение). Возможны три случая в зависимости от величины угла $\gamma$ (угла при вершине $C$).

1. Угол $\gamma$ — острый ($0^\circ < \gamma < 90^\circ$).

В этом случае высота $BH$ лежит внутри треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По определению синуса и косинуса:

$BH = a \sin(\gamma)$

$CH = a \cos(\gamma)$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHA$. Длина катета $AH$ равна разности длин $AC$ и $CH$:

$AH = AC - CH = b - a \cos(\gamma)$

По теореме Пифагора для треугольника $BHA$ имеем: $AB^2 = BH^2 + AH^2$. Подставим известные величины:

$c^2 = (a \sin(\gamma))^2 + (b - a \cos(\gamma))^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$c^2 = a^2 \sin^2(\gamma) + b^2 - 2ab \cos(\gamma) + a^2 \cos^2(\gamma)$

Сгруппируем слагаемые с $a^2$:

$c^2 = a^2 (\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma)) + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$, получаем:

$c^2 = a^2 \cdot 1 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Теорема доказана для острого угла.

2. Угол $\gamma$ — тупой ($90^\circ < \gamma < 180^\circ$).

В этом случае высота $BH$ падает на продолжение стороны $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Угол, смежный с $\gamma$, равен $\angle BCH = 180^\circ - \gamma$. По определению синуса и косинуса:

$BH = a \sin(180^\circ - \gamma) = a \sin(\gamma)$

$CH = a \cos(180^\circ - \gamma) = -a \cos(\gamma)$ (длина отрезка $CH$ положительна, так как $\cos(\gamma)$ отрицателен для тупого угла).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHA$. Длина катета $AH$ равна сумме длин $AC$ и $CH$:

$AH = AC + CH = b + (-a \cos(\gamma)) = b - a \cos(\gamma)$

По теореме Пифагора для треугольника $BHA$: $AB^2 = BH^2 + AH^2$. Подставим выражения для $BH$ и $AH$:

$c^2 = (a \sin(\gamma))^2 + (b - a \cos(\gamma))^2$

Это выражение в точности совпадает с выражением, полученным в первом случае. Его преобразование приводит к тому же результату:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Теорема доказана для тупого угла.

3. Угол $\gamma$ — прямой ($\gamma = 90^\circ$).

В этом случае треугольник $ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $c$. Теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.

По теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.

Применим формулу теоремы косинусов для $\gamma = 90^\circ$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(90^\circ)$

Так как $\cos(90^\circ) = 0$, то:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0$

$c^2 = a^2 + b^2$

Результат совпадает с теоремой Пифагора, следовательно, теорема косинусов верна и для прямого угла.

Таким образом, теорема доказана для любого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема косинусов доказана. Для произвольного треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ справедливо равенство: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

12. Докажите теорему синусов.

Теорема синусов.Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно диаметру описанной около треугольника окружности.

Для произвольного треугольника со сторонами $a, b, c$, противолежащими им углами $A, B, C$ и радиусом описанной окружности $R$, справедливо соотношение:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ и углами $\angle A, \angle B, \angle C$. Опишем около этого треугольника окружность радиуса $R$. Докажем, что $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

Для этого рассмотрим три возможных случая для угла $A$.

1. Угол A — острый ($A < 90^\circ$).

Проведем из вершины B диаметр $BD$. Соединим точки D и C.

Треугольник $BCD$ является прямоугольным, поскольку его угол $\angle BCD$ опирается на диаметр $BD$, следовательно, $\angle BCD = 90^\circ$.

Вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну и ту же дугу $BC$, поэтому они равны: $\angle BDC = \angle BAC = A$.

В прямоугольном треугольнике $BCD$ по определению синуса:

$ \sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} $

Подставляя известные обозначения ($BC=a$, $BD=2R$, $\angle BDC=A$), получаем:

$ \sin A = \frac{a}{2R} $

Откуда следует, что $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

2. Угол A — тупой ($A > 90^\circ$).

Аналогично проведем диаметр $BD$.

Четырехугольник $ABDC$ вписан в окружность, поэтому сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$: $\angle BAC + \angle BDC = 180^\circ$. Отсюда $\angle BDC = 180^\circ - A$.

Треугольник $BCD$ также является прямоугольным ($\angle BCD = 90^\circ$). В нем:

$ \sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} $

Подставляя значения, получаем:

$ \sin(180^\circ - A) = \frac{a}{2R} $

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, имеем:

$ \sin A = \frac{a}{2R} $, или $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

3. Угол A — прямой ($A = 90^\circ$).

Если угол $A$ прямой, то треугольник $ABC$ — прямоугольный, и его гипотенуза $BC$ (сторона $a$) является диаметром описанной окружности.

Таким образом, $a = 2R$. При этом $\sin A = \sin 90^\circ = 1$.

Равенство $\frac{a}{\sin A} = 2R$ превращается в $\frac{2R}{1} = 2R$, что является верным.

Итак, мы доказали, что для любого угла $A$ треугольника выполняется равенство $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

Аналогичные рассуждения можно провести для углов $B$ и $C$, доказав, что $\frac{b}{\sin B} = 2R$ и $\frac{c}{\sin C} = 2R$.

Объединяя эти три равенства, получаем итоговую формулировку теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $

Теорема доказана.

Ответ:Доказательство приведено выше. Теорема синусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими углами $A, B, C$ выполняется соотношение $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

13. Как решить треугольник по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум углам?

«Решить треугольник» — это значит найти длины всех его трех сторон и величины всех трех углов по известным элементам. Для описания будем использовать стандартные обозначения для треугольника ABC:

В треугольнике ABC: $a, b, c$ — это длины сторон, лежащих напротив вершин A, B, и C соответственно; $\alpha, \beta, \gamma$ — это углы при вершинах A, B, и C. Основное свойство углов: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Для решения задач используются две основные теоремы:
Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$ (и аналогичные формулы для других сторон).
Теорема синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$.

по двум сторонам и углу между ними

Этот случай соответствует второму признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними, SAS). Предположим, что нам известны длины сторон $a$ и $b$, и величина угла $\gamma$ между ними.

1. Найти третью сторону ($c$)
Для нахождения стороны $c$, противолежащей известному углу $\gamma$, применяется теорема косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Извлекая квадратный корень, получаем длину стороны $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma}$

2. Найти второй угол (например, $\alpha$)
Теперь, зная все три стороны, можно найти один из оставшихся углов. Для надежности лучше снова использовать теорему косинусов, чтобы найти угол $\alpha$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

Выражаем из формулы косинус угла $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Сам угол $\alpha$ находится с помощью функции арккосинус:

$\alpha = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

3. Найти третий угол ($\beta$)
Зная два угла ($\gamma$ и $\alpha$), третий угол $\beta$ вычисляется из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$

Таким образом, все неизвестные элементы треугольника определены.

Ответ: Для решения треугольника по двум сторонам ($a, b$) и углу между ними ($\gamma$) необходимо выполнить следующие шаги:1. Найти сторону $c$ по теореме косинусов: $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma}$.2. Найти угол $\alpha$ по теореме косинусов: $\alpha = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$.3. Найти угол $\beta$ по формуле суммы углов: $\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$.

по стороне и двум углам

Этот случай соответствует первому признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла, ASA) или его вариации (сторона, прилежащий и противолежащий угол, AAS). Поскольку третий угол всегда можно найти, если известны два других, оба случая решаются одинаково. Предположим, нам известны сторона $a$ и углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Найти третий угол ($\gamma$)
Третий угол $\gamma$ находится из свойства суммы углов треугольника:

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$

Теперь известны все три угла треугольника.

2. Найти оставшиеся стороны ($b$ и $c$)
Зная все углы и одну сторону, мы можем использовать теорему синусов для нахождения двух других сторон.

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Чтобы найти сторону $b$, используем пропорцию:

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha} \implies b = a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$

Чтобы найти сторону $c$, используем ту же теорему:

$\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{a}{\sin \alpha} \implies c = a \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$

Таким образом, все неизвестные элементы треугольника определены.

Ответ: Для решения треугольника по стороне ($a$) и двум углам ($\alpha, \beta$) необходимо выполнить следующие шаги:1. Найти третий угол $\gamma$: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.2. Найти стороны $b$ и $c$ по теореме синусов: $b = a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$ и $c = a \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$.

14. Что такое ломаная линия? Какие свойства она имеет?

Что такое ломаная линия?

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединенных отрезков. Эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки их соединения — вершинами ломаной.

Более формально, если даны точки $A_1, A_2, \dots, A_n$, то ломаной $A_1A_2\dots A_n$ называется фигура, образованная отрезками $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{n-1}A_n$.

Элементы ломаной:
• Вершины — точки $A_1, A_2, \dots, A_n$.
• Звенья — отрезки $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{n-1}A_n$.
• Концы — первая ($A_1$) и последняя ($A_n$) вершины.
• Соседние звенья — это звенья, имеющие общую вершину (например, $A_1A_2$ и $A_2A_3$).

Пример ломаной линии $A_1A_2A_3A_4$:

Ломаные линии бывают нескольких видов:
• Простая (несамопересекающаяся) ломаная: ее звенья не пересекаются, кроме как в вершинах.
• Самопересекающаяся ломаная: имеет хотя бы одно пересечение звеньев не в вершинах.
• Замкнутая ломаная: ее концы совпадают ($A_1=A_n$). Замкнутая простая ломаная образует многоугольник.
• Незамкнутая (открытая) ломаная: ее концы не совпадают ($A_1 \neq A_n$).

Ответ: Ломаная линия — это фигура, составленная из отрезков, расположенных так, что конец первого отрезка является началом второго, конец второго — началом третьего и т.д. Отрезки называются звеньями, а их концы — вершинами ломаной.

Какие свойства она имеет?

Основные свойства ломаной линии связаны с ее длиной и расположением в пространстве.

1. Длина ломаной. Главное численное свойство ломаной — ее длина. Длина ломаной равна сумме длин всех ее звеньев. Для ломаной $A_1A_2\dots A_n$ ее длина $L$ вычисляется по формуле:
$L = |A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_{n-1}A_n| = \sum_{i=1}^{n-1} |A_iA_{i+1}|$
где $|A_iA_{i+1}|$ — длина отрезка (звена), соединяющего вершины $A_i$ и $A_{i+1}$.

2. Основное свойство длины (неравенство ломаной). Длина любой ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
$L \geq |A_1A_n|$
Это свойство является обобщением неравенства треугольника. Равенство достигается только в том случае, если все вершины ломаной лежат на одной прямой между ее концами $A_1$ и $A_n$.

3. Свойства замкнутой ломаной. Если ломаная является замкнутой и простой (несамопересекающейся), она образует многоугольник и приобретает дополнительные свойства:
• Такая ломаная разделяет плоскость на две области: внутреннюю (ограниченную) и внешнюю (неограниченную). Это утверждение известно как теорема Жордана.
• Для многоугольника, образованного замкнутой ломаной с $n$ вершинами, сумма внутренних углов равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.

Ответ: Основные свойства ломаной — это ее длина, которая равна сумме длин ее звеньев, и неравенство ломаной, утверждающее, что ее длина не меньше расстояния между ее концами. Замкнутые простые ломаные (многоугольники) обладают дополнительными свойствами, такими как разделение плоскости и определенная сумма внутренних углов.

15. Что такое выпуклый многоугольник? Что такое правильный многоугольник?

Что такое выпуклый многоугольник?

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Другими словами, если продолжить любую из сторон многоугольника в обе стороны, то весь многоугольник окажется по одну сторону от этой прямой.

Существует и другое, эквивалентное определение: многоугольник является выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его внутренние точки, полностью содержится внутри этого многоугольника.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, многоугольник является невыпуклым (или вогнутым).

Ключевые свойства выпуклого многоугольника:

• Все его внутренние углы меньше $180^\circ$.
• Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле: $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$.
• Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

Ответ: Выпуклый многоугольник — это такой многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Что такое правильный многоугольник?

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все внутренние углы равны между собой. То есть он является одновременно равносторонним и равноугольным.

Ключевые свойства правильного многоугольника:

• Так как все углы равны, величину одного внутреннего угла правильного $n$-угольника можно найти по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
• Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность (все вершины лежат на ней).
• В любой правильный многоугольник можно вписать окружность (все стороны касаются её).
• Центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Примерами являются равносторонний треугольник ($n=3$), квадрат ($n=4$), правильный пятиугольник ($n=5$) и так далее.

Ответ: Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы.

16. Что называют направляющим вектором, вектором нормали? Напишите уравнение прямой.

Что называют направляющим вектором, вектором нормали?

В аналитической геометрии для задания прямой на плоскости или в пространстве используются специальные векторы, которые определяют ее ориентацию.

Направляющий вектор прямой — это любой ненулевой вектор, который параллелен (коллинеарен) данной прямой. Он задает направление прямой. Если прямая проходит через точки A и B, то вектор $\vec{AB}$ является ее направляющим вектором. Обычно направляющий вектор обозначают как $\vec{s}$, $\vec{p}$ или $\vec{q}$. На плоскости его координаты записывают как $\vec{s} = (l, m)$.

Вектор нормали (или нормальный вектор) прямой — это любой ненулевой вектор, который перпендикулярен (ортогонален) данной прямой. Вектор нормали однозначно определяет наклон прямой. Обычно вектор нормали обозначают как $\vec{n}$. На плоскости его координаты записывают как $\vec{n} = (A, B)$.

Если известен направляющий вектор прямой $\vec{s} = (l, m)$, то один из векторов нормали для этой прямой будет иметь координаты $\vec{n} = (-m, l)$ или $\vec{n} = (m, -l)$, так как их скалярное произведение равно нулю: $l \cdot (-m) + m \cdot l = 0$.

Ответ: Направляющий вектор – это ненулевой вектор, параллельный прямой. Вектор нормали – это ненулевой вектор, перпендикулярный прямой.

Напишите уравнение прямой.

Существует несколько форм записи уравнения прямой на плоскости, в зависимости от исходных данных.

1. Каноническое уравнение прямой
Это уравнение составляется, если известна точка $M_0(x_0, y_0)$, через которую проходит прямая, и ее направляющий вектор $\vec{s} = (l, m)$. Уравнение имеет вид: $$ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} $$ Оно выражает пропорциональность координат направляющего вектора $\vec{s}$ и вектора $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0)$ для любой точки $M(x,y)$ на прямой.

2. Параметрические уравнения прямой
Также используются точка на прямой $M_0(x_0, y_0)$ и направляющий вектор $\vec{s} = (l, m)$. Переменная $t$ называется параметром. Каждому значению $t \in (-\infty, +\infty)$ соответствует одна точка на прямой. Уравнения имеют вид системы: $$ \begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \end{cases} $$

3. Общее уравнение прямой
Это уравнение напрямую связано с вектором нормали $\vec{n} = (A, B)$. Оно задает прямую как множество точек $M(x,y)$, для которых вектор $\vec{M_0M}$ ортогонален вектору нормали $\vec{n}$. Уравнение имеет вид: $$ Ax + By + C = 0 $$ Здесь коэффициенты $A$ и $B$ являются координатами вектора нормали $\vec{n} = (A, B)$. Свободный член $C$ зависит от конкретной точки, через которую проходит прямая ($C = -Ax_0 - By_0$).

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Это частный случай общего уравнения, разрешенного относительно $y$. $$ y = kx + b $$ Здесь $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси Ox), $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью Oy. Угловой коэффициент связан с направляющим вектором $\vec{s}=(l,m)$ как $k = \frac{m}{l}$, а с вектором нормали $\vec{n}=(A,B)$ как $k = -\frac{A}{B}$.

Ответ: Основные виды уравнений прямой на плоскости:

• Каноническое: $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m}$
• Параметрические: $\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \end{cases}$
• Общее: $Ax + By + C = 0$
• С угловым коэффициентом: $y = kx + b$

17. Расскажите о преобразовании плоскости.

Преобразование плоскости — это отображение (функция), которое каждой точке плоскости ставит в соответствие некоторую точку этой же плоскости. Если точка $M$ переходит в точку $M'$, то $M'$ называют образом точки $M$, а $M$ — прообразом точки $M'$.

Существуют различные классы преобразований, которые отличаются сохраняемыми ими свойствами геометрических фигур. Основные из них:

1. Движение (Изометрия)

Движением или изометрическим преобразованием называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками. Если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$, то расстояние $AB$ равно расстоянию $A'B'$. Движения сохраняют не только расстояния, но и углы, параллельность прямых, а также переводят фигуры в равные (конгруэнтные) им фигуры.

Основные виды движений:

Параллельный перенос

Это преобразование, при котором все точки плоскости смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Задается вектором переноса $\vec{a}(a, b)$. Каждая точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x', y')$ такую, что вектор $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Формулы параллельного переноса: $x' = x + a$, $y' = y + b$.

Поворот

Это преобразование, задаваемое центром поворота $O$ и углом поворота $\alpha$. Каждая точка $M$ плоскости поворачивается вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ в точку $M'$, при этом расстояние $OM$ равно $OM'$, а угол $\angle MOM'$ равен $\alpha$.

Формулы поворота вокруг начала координат $O(0, 0)$ на угол $\alpha$:
$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$
$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Симметрия (Отражение)

Различают осевую и центральную симметрию.

Осевая симметрия — это отражение относительно прямой $l$ (оси симметрии). Каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$.

Центральная симметрия — это отражение относительно точки $O$ (центра симметрии). Каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Центральная симметрия является частным случаем поворота на $180^\circ$.

2. Преобразование подобия

Это преобразование, при котором для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A'$ и $B'$ выполняется соотношение $A'B' = k \cdot AB$, где $k$ — постоянное положительное число, называемое коэффициентом подобия. Преобразования подобия сохраняют углы, но изменяют длины. Фигуры переводятся в подобные им фигуры. Движение является частным случаем подобия с коэффициентом $k=1$.

Гомотетия

Это центральное преобразование подобия. Оно задается центром гомотетии $O$ и коэффициентом $k \neq 0$. Каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ на прямой $OM$ такую, что $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Формулы гомотетии с центром в начале координат $O(0, 0)$: $x' = kx$, $y' = ky$.

3. Аффинные преобразования

Это более общий класс преобразований, который включает в себя движения и подобия. Аффинные преобразования сохраняют коллинеарность точек (точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой) и параллельность прямых. Отношения длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, также сохраняются.

Общие формулы аффинного преобразования:
$x' = a_{11}x + a_{12}y + b_1$
$y' = a_{21}x + a_{22}y + b_2$
при условии, что определитель матрицы $ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $ не равен нулю: $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$.

Примерами аффинных преобразований, не являющихся подобиями, являются сдвиг (shear) и неравномерное сжатие/растяжение.

Ответ:

Преобразование плоскости — это отображение, которое сопоставляет каждой точке плоскости некоторую другую точку. Ключевые типы преобразований классифицируются по сохраняемым ими геометрическим свойствам:
1. Движения (изометрии) — сохраняют расстояния и углы. Включают параллельный перенос, поворот и симметрию. Они переводят фигуры в конгруэнтные.
2. Преобразования подобия — изменяют все расстояния в одно и то же число раз (коэффициент подобия $k$), сохраняя при этом углы. Основной пример — гомотетия. Они переводят фигуры в подобные.
3. Аффинные преобразования — более общий класс, сохраняющий параллельность прямых и отношение длин параллельных отрезков. Движения и подобия являются частными случаями аффинных преобразований.
Таким образом, эти классы преобразований образуют иерархию: движения ⊂ подобия ⊂ аффинные преобразования.