Страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.144. Докажите формулу $S=\frac{abc}{4R}$, если $a, b, c$ – стороны треугольника, а $R$ – радиус описанной около него окружности.

Для доказательства данной формулы необходимо использовать две известные теоремы из геометрии: формулу площади треугольника через синус угла и теорему синусов.

Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно. $S$ — площадь этого треугольника, а $R$ — радиус описанной около него окружности.

1. Формула площади треугольника через произведение двух сторон и синус угла между ними выглядит так:$S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$(Здесь мы взяли стороны $a$, $b$ и угол $\gamma$ между ними).

2. Обобщенная теорема синусов устанавливает связь между сторонами треугольника, синусами его углов и радиусом описанной окружности:$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

3. Из теоремы синусов выразим $\sin \gamma$. Для этого возьмем часть равенства, относящуюся к стороне $c$ и углу $\gamma$:$\frac{c}{\sin \gamma} = 2R$Отсюда следует, что:$\sin \gamma = \frac{c}{2R}$

4. Теперь подставим полученное выражение для $\sin \gamma$ в формулу площади треугольника из пункта 1:$S = \frac{1}{2}ab \cdot \left(\frac{c}{2R}\right)$

5. Умножим дроби, чтобы получить окончательный вид формулы:$S = \frac{abc}{4R}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула $S=\frac{abc}{4R}$ доказывается путем использования формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$ и выражения для синуса угла из теоремы синусов $\sin \gamma = \frac{c}{2R}$. Подстановка второго выражения в первое и последующее упрощение приводят к искомой формуле.

4.145. Докажите формулу $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}$, если $h_1, h_2, h_3$ – высоты треугольника, а $r$ – радиус вписанной в него окружности.

Для доказательства данной формулы воспользуемся двумя способами выражения площади треугольника $S$.

Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, а $h_1, h_2, h_3$ — высоты, проведенные к этим сторонам соответственно.

1. Площадь треугольника можно выразить через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне:
$S = \frac{1}{2} a h_1$
$S = \frac{1}{2} b h_2$
$S = \frac{1}{2} c h_3$

Из этих соотношений выразим величины, обратные высотам:
$\frac{1}{h_1} = \frac{a}{2S}$
$\frac{1}{h_2} = \frac{b}{2S}$
$\frac{1}{h_3} = \frac{c}{2S}$

Сложим левую часть доказываемого равенства:
$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a}{2S} + \frac{b}{2S} + \frac{c}{2S} = \frac{a+b+c}{2S}$.

2. Площадь треугольника также можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и его полупериметр $p$. Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$.
Формула площади: $S = p \cdot r$.
Подставив выражение для полупериметра, получим: $S = \frac{a+b+c}{2} \cdot r$.

Из этой формулы выразим величину $\frac{1}{r}$, которая является правой частью доказываемого равенства:
$\frac{1}{r} = \frac{a+b+c}{2S}$.

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей исходного равенства, мы видим, что они тождественно равны:
$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a+b+c}{2S}$
$\frac{1}{r} = \frac{a+b+c}{2S}$

Таким образом, формула $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}$ доказана.

Ответ: Равенство доказано.

4.146. Найдите площадь треугольника и высоту $h_a$ по его сторонам $a, b, c$.

Площадь треугольника

Для нахождения площади треугольника $S$ по трем известным сторонам $a$, $b$ и $c$ используется формула Герона. Этот метод состоит из двух шагов.

1. Сначала необходимо вычислить полупериметр треугольника $p$. Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон треугольника.

Формула для полупериметра:

$p = \frac{a + b + c}{2}$

2. После того как полупериметр найден, площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Данная формула позволяет найти площадь любого треугольника, зная только длины его сторон. Для существования треугольника со сторонами $a, b, c$ необходимо выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Ответ: Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.

Высота h_a

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или на её продолжение). Высоту $h_a$, проведенную к стороне $a$, можно найти, используя значение площади треугольника $S$.

Площадь треугольника также можно выразить через основание и высоту:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Из этой формулы можно выразить высоту $h_a$:

$h_a = \frac{2S}{a}$

Теперь, чтобы получить формулу для $h_a$ через стороны $a, b, c$, подставим в это выражение формулу Герона для площади $S$:

$h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Здесь $p$ — это также полупериметр треугольника, $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Ответ: Высота $h_a$, проведенная к стороне $a$, вычисляется по формуле $h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

4.147. Докажите, что для взаимной перпендикулярности диагоналей четырехугольника необходимо и достаточно выполнение равенства суммы квадратов его противоположных сторон.

Для доказательства данного утверждения необходимо показать два взаимно обратных утверждения: 1) если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то суммы квадратов длин его противоположных сторон равны (необходимость), и 2) если суммы квадратов длин противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали перпендикулярны (достаточность).

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть его диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Обозначим длины отрезков, на которые точка O делит диагонали, как $AO$, $CO$, $BO$, $DO$.

Необходимость

Пусть диагонали AC и BD перпендикулярны. Это означает, что угол в точке их пересечения O равен $90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине O.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

$AB^2 = AO^2 + BO^2$

$BC^2 = BO^2 + CO^2$

$CD^2 = CO^2 + DO^2$

$DA^2 = DO^2 + AO^2$

Сложим квадраты длин противоположных сторон:

$AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2) = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$.

$BC^2 + DA^2 = (BO^2 + CO^2) + (DO^2 + AO^2) = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$.

Сравнивая правые части этих равенств, видим, что они равны. Следовательно, $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$.

Достаточность

Пусть теперь известно, что суммы квадратов длин противоположных сторон четырехугольника равны: $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$.

Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$. Тогда, как смежный с ним, $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$. Углы $\angle COD$ и $\angle DOA$ равны им как вертикальные: $\angle COD = \alpha$ и $\angle DOA = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов к четырем треугольникам с общей вершиной O:

$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\alpha)$

$BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = BO^2 + CO^2 + 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\alpha)$

$CD^2 = CO^2 + DO^2 - 2 \cdot CO \cdot DO \cdot \cos(\alpha)$

$DA^2 = DO^2 + AO^2 - 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = DO^2 + AO^2 + 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos(\alpha)$

Подставим эти выражения в исходное равенство $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$:

$(AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos\alpha) + (CO^2 + DO^2 - 2 \cdot CO \cdot DO \cdot \cos\alpha) = (BO^2 + CO^2 + 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos\alpha) + (DO^2 + AO^2 + 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos\alpha)$.

После сокращения одинаковых членов $AO^2, BO^2, CO^2, DO^2$ в обеих частях уравнения, получим:

$-2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos\alpha - 2 \cdot CO \cdot DO \cdot \cos\alpha = 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos\alpha + 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos\alpha$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos\alpha + 2 \cdot CO \cdot DO \cdot \cos\alpha + 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos\alpha + 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos\alpha = 0$.

Вынесем за скобки общий множитель $2\cos\alpha$:

$2\cos\alpha (AO \cdot BO + CO \cdot DO + BO \cdot CO + DO \cdot AO) = 0$.

Сгруппируем слагаемые в скобках: $AO \cdot BO + BO \cdot CO + DO \cdot AO + DO \cdot CO = BO(AO+CO) + DO(AO+CO) = (AO+CO)(BO+DO)$.

Тогда уравнение примет вид:

$2\cos\alpha \cdot (AO+CO) \cdot (BO+DO) = 0$.

Для невырожденного четырехугольника длины его диагоналей $(AO+CO)$ и $(BO+DO)$ являются положительными числами. Поэтому их произведение также положительно. Следовательно, для того чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы $\cos\alpha = 0$.

Угол $\alpha$ между диагоналями находится в интервале $(0, 180^\circ)$. Единственное значение угла в этом интервале, для которого косинус равен нулю, это $\alpha=90^\circ$.

Таким образом, диагонали AC и BD перпендикулярны.

Так как доказаны и необходимость, и достаточность, утверждение задачи является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4.148. С внешней стороны прямоугольного треугольника построены полукруги так, что его стороны являются их диаметрами. Покажите равенство площади большего полукруга сумме площадей двух других полукругов.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора и формулой площади круга.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, для этого треугольника выполняется равенство:

$a^2 + b^2 = c^2$

По условию задачи, на каждой стороне треугольника с внешней стороны построен полукруг, диаметр которого равен длине соответствующей стороны. Это показано на рисунке ниже.

Площадь круга с радиусом $R$ равна $S_{круга} = \pi R^2$. Поскольку диаметр $d = 2R$, площадь можно выразить через диаметр: $S_{круга} = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Площадь полукруга составляет половину площади круга:

$S_{полукруга} = \frac{1}{2} S_{круга} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi d^2}{8}$

Теперь вычислим площади трех полукругов:

• Площадь полукруга, построенного на катете $a$, обозначим $S_a$. Его диаметр равен $a$.
  $S_a = \frac{\pi a^2}{8}$
• Площадь полукруга, построенного на катете $b$, обозначим $S_b$. Его диаметр равен $b$.
  $S_b = \frac{\pi b^2}{8}$
• Площадь полукруга, построенного на гипотенузе $c$, обозначим $S_c$. Это больший полукруг, так как гипотенуза является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Его диаметр равен $c$.
  $S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Нам нужно показать, что $S_c = S_a + S_b$.

Найдем сумму площадей полукругов, построенных на катетах:

$S_a + S_b = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки:

$S_a + S_b = \frac{\pi}{8} (a^2 + b^2)$

Из теоремы Пифагора мы знаем, что $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим это выражение в нашу формулу:

$S_a + S_b = \frac{\pi}{8} c^2$

Полученное выражение в точности равно площади полукруга, построенного на гипотенузе $c$:

$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Таким образом, мы доказали, что $S_c = S_a + S_b$, что и требовалось.

Ответ: Равенство площадей показано. Площадь большего полукруга (построенного на гипотенузе) равна сумме площадей двух других полукругов (построенных на катетах). Это утверждение является прямым алгебраическим следствием теоремы Пифагора, примененной к формуле площади полукруга.

4.149. Докажите, что выполняется равенство $S_{ABC} = S_1 + S_2$, где $S_1$ и $S_2$ — площади полумесяцев, ограниченных полуокружностями, диаметры которых есть стороны прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) (рис. 4.42).

Рис. 4.42

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов $AC$ и $BC$ как $b$ и $a$ соответственно, а длину гипотенузы $AB$ как $c$.

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ выполняется равенство: $a^2 + b^2 = c^2$

На сторонах треугольника как на диаметрах построены три полуокружности. Площади $S_1$ и $S_2$ представляют собой так называемые «луночки Гиппократа». Нам нужно доказать, что их суммарная площадь равна площади треугольника $ABC$, то есть $S_1 + S_2 = S_{ABC}$.

Площадь полукруга с диаметром $d$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{8}$.

Обозначим площади полукругов, построенных на катетах $AC$ и $BC$ как $S_{AC}$ и $S_{BC}$ соответственно, а площадь полукруга, построенного на гипотенузе $AB$, как $S_{AB}$.

$S_{AC} = \frac{\pi b^2}{8}$

$S_{BC} = \frac{\pi a^2}{8}$

$S_{AB} = \frac{\pi c^2}{8}$

Поскольку угол $C$ прямой, вершина $C$ лежит на полуокружности, построенной на гипотенузе $AB$. Площадь луночки $S_1$ можно найти, если из площади полукруга на катете $AC$ вычесть площадь сегмента, отсекаемого хордой $AC$ от полукруга на гипотенузе $AB$. Аналогично для $S_2$.

Давайте выразим сумму площадей $S_1 + S_2$ через площади известных фигур. Сумма площадей двух полукругов на катетах равна сумме площадей двух луночек и площади треугольника. Однако более строгий подход — через сложение и вычитание площадей.

Сумма площадей полукругов на катетах и площади самого треугольника равна $S_{AC} + S_{BC} + S_{ABC}$. Эта же общая площадь может быть представлена как сумма площади полукруга на гипотенузе и площадей двух луночек: $S_{AB} + S_1 + S_2$. Приравняем эти два выражения для общей площади фигуры:

$S_{AC} + S_{BC} + S_{ABC} = S_{AB} + S_1 + S_2$

Выразим отсюда искомую сумму $S_1 + S_2$:

$S_1 + S_2 = S_{AC} + S_{BC} - S_{AB} + S_{ABC}$

Теперь подставим формулы для площадей полукругов:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi b^2}{8} + \frac{\pi a^2}{8} - \frac{\pi c^2}{8} + S_{ABC}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi}{8}(a^2 + b^2 - c^2) + S_{ABC}$

Из теоремы Пифагора мы знаем, что $a^2 + b^2 = c^2$, следовательно, выражение в скобках равно нулю: $a^2 + b^2 - c^2 = 0$.

Подставив это в наше уравнение, получаем:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi}{8}(0) + S_{ABC} = S_{ABC}$

Таким образом, мы доказали, что сумма площадей двух луночек равна площади прямоугольного треугольника.

Ответ: Равенство $S_{ABC} = S_1 + S_2$ выполняется, что и требовалось доказать.

4.150. Найдите площадь ромба, сумма диагоналей которого равна $m$, а периметр $2p$.

Пусть $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба, $a$ — его сторона, $P$ — периметр, а $S$ — площадь.

По условию задачи, сумма диагоналей равна $m$:
$d_1 + d_2 = m$

Также по условию, периметр ромба равен $2p$. Периметр ромба вычисляется по формуле $P = 4a$.
Следовательно, $4a = 2p$.
Отсюда можем найти длину стороны ромба:
$a = \frac{2p}{4} = \frac{p}{2}$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике катеты равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза равна стороне ромба $a$.

Согласно теореме Пифагора:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$
$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = a^2$
$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Подставим в это равенство найденное значение стороны $a = \frac{p}{2}$:
$d_1^2 + d_2^2 = 4 (\frac{p}{2})^2 = 4 \frac{p^2}{4} = p^2$

Таким образом, мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными $d_1$ и $d_2$:
1) $d_1 + d_2 = m$
2) $d_1^2 + d_2^2 = p^2$

Площадь ромба $S$ находится по формуле:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Для нахождения площади нам необходимо найти произведение диагоналей $d_1 d_2$.

Возведем в квадрат первое уравнение системы:
$(d_1 + d_2)^2 = m^2$
$d_1^2 + 2d_1 d_2 + d_2^2 = m^2$

Мы знаем из второго уравнения, что $d_1^2 + d_2^2 = p^2$. Подставим это значение в раскрытое уравнение:
$p^2 + 2d_1 d_2 = m^2$

Выразим из этого уравнения $2d_1 d_2$:
$2d_1 d_2 = m^2 - p^2$

Отсюда находим произведение диагоналей:
$d_1 d_2 = \frac{m^2 - p^2}{2}$

Теперь подставим полученное произведение в формулу для площади ромба:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{m^2 - p^2}{2} \right) = \frac{m^2 - p^2}{4}$

Ответ: $\frac{m^2 - p^2}{4}$

4.151. Найдите третью сторону треугольника, если две его стороны равны $a$ и $b$, а площадь $S=\frac{3}{5}ab$.

Для нахождения третьей стороны треугольника, обозначим её как $c$, воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними, а затем теоремой косинусов.

Пусть $a$ и $b$ — длины двух известных сторон треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

Из условия задачи нам дано, что площадь равна $S = \frac{3}{5}ab$. Приравняем два этих выражения для площади, чтобы найти синус угла $\gamma$:
$\frac{1}{2}ab \sin(\gamma) = \frac{3}{5}ab$

Поскольку $a$ и $b$ — это длины сторон треугольника, они не равны нулю, поэтому мы можем сократить обе части уравнения на $ab$:
$\frac{1}{2}\sin(\gamma) = \frac{3}{5}$

Выразим отсюда $\sin(\gamma)$:
$\sin(\gamma) = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$

Область значений функции синуса для любого действительного угла лежит в пределах от -1 до 1, то есть должно выполняться неравенство $|\sin(\gamma)| \le 1$. В нашем случае мы получили значение $\sin(\gamma) = \frac{6}{5} = 1.2$, что больше 1.

Это противоречие означает, что треугольник с заданными параметрами (две стороны $a$ и $b$, и площадь $S = \frac{3}{5}ab$) не может существовать в евклидовой геометрии. Следовательно, найти его третью сторону невозможно. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: Треугольника с заданными условиями не существует.

4.152. Высота треугольника, равная 4 см, делит его основание в отношении 1 : 8. Отрезок, параллельный этой высоте, делит данный треугольник на две равновеликие части. Найдите длину отрезка.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором к основанию $AC$ проведена высота $BH$. По условию задачи, длина высоты $BH = 4$ см. Основание высоты, точка $H$, делит сторону $AC$ на два отрезка, $AH$ и $HC$, в отношении $1:8$. Введем коэффициент пропорциональности $k$, тогда $AH = k$ и $HC = 8k$. Длина всего основания $AC$ будет равна $AH + HC = k + 8k = 9k$.

Площадь всего треугольника $ABC$ вычисляется по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (9k) \cdot 4 = 18k$ см$^2$.

По условию, отрезок, параллельный высоте $BH$, делит треугольник на две равновеликие части. Это означает, что площадь каждой из этих частей равна половине площади исходного треугольника, то есть $S_1 = S_2 = \frac{S_{ABC}}{2} = \frac{18k}{2} = 9k$ см$^2$.

Так как искомый отрезок параллелен высоте $BH$, он также будет перпендикулярен основанию $AC$. Обозначим этот отрезок $PQ$, где точка $Q$ лежит на основании $AC$, а точка $P$ — на одной из боковых сторон ($AB$ или $BC$). Высота $BH$ делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Искомый отрезок $PQ$ должен располагаться в одном из них.

Рассмотрим два возможных случая расположения отрезка $PQ$.

1. Отрезок $PQ$ расположен в большем прямоугольном треугольнике $\triangle CBH$.
В этом случае точка $Q$ находится на отрезке $HC$, а точка $P$ — на стороне $BC$. Отрезок $PQ$ отсекает от угла $C$ треугольник $\triangle PQC$. Этот треугольник $\triangle PQC$ является одной из двух равновеликих частей, на которые делится исходный $\triangle ABC$. Следовательно, его площадь $S_{PQC} = 9k$. Площадь прямоугольного треугольника $\triangle CBH$ равна $S_{CBH} = \frac{1}{2} \cdot HC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8k \cdot 4 = 16k$. Треугольники $\triangle PQC$ и $\triangle CBH$ подобны, так как у них общий угол $C$ и оба они прямоугольные. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия их соответствующих сторон (в нашем случае высот $PQ$ и $BH$). Пусть длина искомого отрезка $PQ = y$. Тогда: $\frac{S_{PQC}}{S_{CBH}} = \left(\frac{PQ}{BH}\right)^2 = \left(\frac{y}{4}\right)^2$ Подставим известные значения площадей: $\frac{9k}{16k} = \left(\frac{y}{4}\right)^2$ $\frac{9}{16} = \frac{y^2}{16}$ $y^2 = 9$ $y = 3$ см (так как длина отрезка — положительная величина).

2. Отрезок $PQ$ расположен в меньшем прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$.
В этом случае отрезок отсекал бы от угла $A$ треугольник, площадь которого также должна быть равна $9k$. Однако площадь всего треугольника $\triangle ABH$ равна $S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot k \cdot 4 = 2k$. Площадь отсекаемой части не может быть больше площади фигуры, из которой ее отсекают. Так как $9k > 2k$ (при $k>0$), этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможным является первый случай.

Ответ: Длина отрезка равна $3$ см.