Номер 4.150, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.150. Найдите площадь ромба, сумма диагоналей которого равна $m$, а периметр $2p$.

Пусть $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба, $a$ — его сторона, $P$ — периметр, а $S$ — площадь.

По условию задачи, сумма диагоналей равна $m$:
$d_1 + d_2 = m$

Также по условию, периметр ромба равен $2p$. Периметр ромба вычисляется по формуле $P = 4a$.
Следовательно, $4a = 2p$.
Отсюда можем найти длину стороны ромба:
$a = \frac{2p}{4} = \frac{p}{2}$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике катеты равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза равна стороне ромба $a$.

Согласно теореме Пифагора:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$
$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = a^2$
$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Подставим в это равенство найденное значение стороны $a = \frac{p}{2}$:
$d_1^2 + d_2^2 = 4 (\frac{p}{2})^2 = 4 \frac{p^2}{4} = p^2$

Таким образом, мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными $d_1$ и $d_2$:
1) $d_1 + d_2 = m$
2) $d_1^2 + d_2^2 = p^2$

Площадь ромба $S$ находится по формуле:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Для нахождения площади нам необходимо найти произведение диагоналей $d_1 d_2$.

Возведем в квадрат первое уравнение системы:
$(d_1 + d_2)^2 = m^2$
$d_1^2 + 2d_1 d_2 + d_2^2 = m^2$

Мы знаем из второго уравнения, что $d_1^2 + d_2^2 = p^2$. Подставим это значение в раскрытое уравнение:
$p^2 + 2d_1 d_2 = m^2$

Выразим из этого уравнения $2d_1 d_2$:
$2d_1 d_2 = m^2 - p^2$

Отсюда находим произведение диагоналей:
$d_1 d_2 = \frac{m^2 - p^2}{2}$

Теперь подставим полученное произведение в формулу для площади ромба:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{m^2 - p^2}{2} \right) = \frac{m^2 - p^2}{4}$

Ответ: $\frac{m^2 - p^2}{4}$