Номер 4.144, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.144. Докажите формулу $S=\frac{abc}{4R}$, если $a, b, c$ – стороны треугольника, а $R$ – радиус описанной около него окружности.

Для доказательства данной формулы необходимо использовать две известные теоремы из геометрии: формулу площади треугольника через синус угла и теорему синусов.

Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно. $S$ — площадь этого треугольника, а $R$ — радиус описанной около него окружности.

1. Формула площади треугольника через произведение двух сторон и синус угла между ними выглядит так:$S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$(Здесь мы взяли стороны $a$, $b$ и угол $\gamma$ между ними).

2. Обобщенная теорема синусов устанавливает связь между сторонами треугольника, синусами его углов и радиусом описанной окружности:$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

3. Из теоремы синусов выразим $\sin \gamma$. Для этого возьмем часть равенства, относящуюся к стороне $c$ и углу $\gamma$:$\frac{c}{\sin \gamma} = 2R$Отсюда следует, что:$\sin \gamma = \frac{c}{2R}$

4. Теперь подставим полученное выражение для $\sin \gamma$ в формулу площади треугольника из пункта 1:$S = \frac{1}{2}ab \cdot \left(\frac{c}{2R}\right)$

5. Умножим дроби, чтобы получить окончательный вид формулы:$S = \frac{abc}{4R}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула $S=\frac{abc}{4R}$ доказывается путем использования формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$ и выражения для синуса угла из теоремы синусов $\sin \gamma = \frac{c}{2R}$. Подстановка второго выражения в первое и последующее упрощение приводят к искомой формуле.