Номер 4.146, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.146. Найдите площадь треугольника и высоту $h_a$ по его сторонам $a, b, c$.

Площадь треугольника

Для нахождения площади треугольника $S$ по трем известным сторонам $a$, $b$ и $c$ используется формула Герона. Этот метод состоит из двух шагов.

1. Сначала необходимо вычислить полупериметр треугольника $p$. Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон треугольника.

Формула для полупериметра:

$p = \frac{a + b + c}{2}$

2. После того как полупериметр найден, площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Данная формула позволяет найти площадь любого треугольника, зная только длины его сторон. Для существования треугольника со сторонами $a, b, c$ необходимо выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Ответ: Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.

Высота h_a

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или на её продолжение). Высоту $h_a$, проведенную к стороне $a$, можно найти, используя значение площади треугольника $S$.

Площадь треугольника также можно выразить через основание и высоту:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Из этой формулы можно выразить высоту $h_a$:

$h_a = \frac{2S}{a}$

Теперь, чтобы получить формулу для $h_a$ через стороны $a, b, c$, подставим в это выражение формулу Герона для площади $S$:

$h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Здесь $p$ — это также полупериметр треугольника, $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Ответ: Высота $h_a$, проведенная к стороне $a$, вычисляется по формуле $h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.