Номер 4.142, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.142. По данной площади треугольника постройте квадрат одинаковой с ним площади.

Задача о построении квадрата, равновеликого (т.е. имеющего ту же площадь) данному треугольнику, решается в два основных этапа. Сначала треугольник преобразуется в прямоугольник равной площади, а затем этот прямоугольник преобразуется в равновеликий ему квадрат. Последний шаг известен как задача о "квадратуре прямоугольника" и решается с помощью построения среднего геометрического.

Анализ

Пусть дан треугольник $ABC$ с основанием $b$ (например, сторона $BC$) и высотой $h$, проведенной к этому основанию (например, $AH$). Площадь треугольника вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}bh$.

Мы можем построить прямоугольник с такой же площадью. Например, прямоугольник со сторонами $h$ и $\frac{b}{2}$. Его площадь будет равна $S_{\text{прям}} = h \cdot \frac{b}{2} = S_{\triangle}$.

Теперь нам нужно построить квадрат со стороной $a$, площадь которого $S_{\text{кв}} = a^2$ равна площади этого прямоугольника. Следовательно, $a^2 = h \cdot \frac{b}{2}$, откуда сторона квадрата $a = \sqrt{h \cdot \frac{b}{2}}$.

Таким образом, задача сводится к построению отрезка $a$, который является средним геометрическим (средним пропорциональным) двух известных отрезков: высоты треугольника $h$ и половины его основания $\frac{b}{2}$.

Построение

Пусть дан треугольник $ABC$.

1. Выберем одну из сторон треугольника в качестве основания, например, $BC$.

2. С помощью циркуля и линейки построим высоту $AH$, опущенную из вершины $A$ на прямую, содержащую основание $BC$.

3. Построим середину основания $BC$, точку $M$. Отрезок $MC$ будет иметь длину $\frac{BC}{2}$.

4. На произвольной прямой $l$ отложим от точки $P$ отрезок $PQ$, равный по длине высоте $AH$.

5. На той же прямой от точки $Q$ отложим в том же направлении отрезок $QR$, равный по длине отрезку $MC$.

6. Найдем середину $O$ отрезка $PR$ и построим на $PR$ как на диаметре полуокружность.

7. В точке $Q$ восстановим перпендикуляр к прямой $PR$. Точку пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью обозначим $S$.

8. Отрезок $QS$ является искомой стороной квадрата. Обозначим его длину как $a$.

9. Построим квадрат на отрезке $QS$. Для этого построим перпендикуляры к $QS$ в точках $Q$ и $S$ и отложим на них отрезки, равные $QS$. Соединив концы, получим искомый квадрат.

На рисунке ниже показаны все этапы построения:

Доказательство

Площадь исходного треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AH$. В нашем построении мы использовали отрезки $h = AH$ и $\frac{b}{2} = MC$.

Рассмотрим треугольник $PSR$. Угол $\angle PSR$ является вписанным в окружность и опирается на диаметр $PR$, следовательно, $\angle PSR = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $PSR$ — прямоугольный.

Отрезок $QS$ является высотой этого прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $QS^2 = PQ \cdot QR$.

По построению, $PQ = AH = h$ и $QR = MC = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$. Подставляя эти значения, получаем: $QS^2 = AH \cdot MC = h \cdot \frac{b}{2} = \frac{1}{2}bh$.

Площадь квадрата, построенного на стороне $a=QS$, равна $a^2 = QS^2$. Таким образом, $S_{\text{кв}} = a^2 = \frac{1}{2}bh$.

Это доказывает, что площадь построенного квадрата в точности равна площади исходного треугольника.

Ответ: Искомый квадрат строится на стороне $a$, которая является средним геометрическим высоты треугольника $h$ и половины его основания $\frac{b}{2}$. Построение стороны $a$ и самого квадрата описано выше.