Номер 4.136, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.136. Докажите, что любые два квадрата подобны.

Для доказательства того, что любые два квадрата подобны, необходимо показать, что они удовлетворяют определению подобных многоугольников. Два многоугольника являются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Рассмотрим два произвольных квадрата: Квадрат 1 со стороной $a_1$ и Квадрат 2 со стороной $a_2$.

Во-первых, проверим равенство углов. По определению, все углы любого квадрата являются прямыми и равны $90^\circ$. Следовательно, все углы Квадрата 1 равны $90^\circ$, и все углы Квадрата 2 также равны $90^\circ$. Таким образом, соответствующие углы двух квадратов всегда равны друг другу. Первое условие подобия выполняется.

Во-вторых, проверим пропорциональность сторон. У квадрата все стороны равны. Значит, у Квадрата 1 все четыре стороны имеют длину $a_1$, а у Квадрата 2 — $a_2$.

Найдем отношение длин соответствующих сторон. Для любой пары соответствующих сторон (например, верхней стороны первого квадрата и верхней стороны второго) это отношение будет равно $a_1 / a_2$. Поскольку все стороны каждого квадрата равны, это отношение будет одинаковым для всех четырех пар соответствующих сторон. Это постоянное число $k = \frac{a_1}{a_2}$ называется коэффициентом подобия. Следовательно, второе условие подобия — пропорциональность сторон — также выполняется.

Так как для любых двух квадратов выполняются оба условия подобия (равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон), мы доказали, что любые два квадрата подобны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любые два квадрата подобны, поскольку все их углы равны ($90^\circ$), а отношение длин их соответствующих сторон постоянно и равно $k = \frac{a_1}{a_2}$, где $a_1$ и $a_2$ — длины сторон квадратов.