Номер 4.133, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.133. Найдите расстояние между серединами диагоналей трапеции, если даны ее основания.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $a$ и $b$, то есть $AD = a$ и $BC = b$. Для определённости будем считать, что $a$ — это большее основание, а $b$ — меньшее ($a > b$).

Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Требуется найти длину отрезка $MN$.

Для наглядности рассмотрим рисунок:

Для решения задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Введём вспомогательную точку $K$ — середину боковой стороны $AB$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины его сторон $AB$ и $BD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По теореме о средней линии, отрезок $KN$ параллелен основанию $AD$ и равен его половине:
$KN = \frac{1}{2} AD = \frac{a}{2}$

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KM$ соединяет середины его сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По той же теореме, $KM$ параллелен основанию $BC$ и равен его половине:
$KM = \frac{1}{2} BC = \frac{b}{2}$

3. Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны друг другу ($AD \parallel BC$). Так как $KN \parallel AD$ и $KM \parallel BC$, то отрезки $KN$ и $KM$ также параллельны между собой. Поскольку эти два параллельных отрезка имеют общую точку $K$, они лежат на одной прямой. Это означает, что точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой (которая является частью средней линии трапеции).

4. Так как точки $K, M, N$ лежат на одной прямой и мы предположили, что $a > b$, то $KN > KM$. Точка $M$ лежит между точками $K$ и $N$. Длина искомого отрезка $MN$ равна разности длин отрезков $KN$ и $KM$:
$MN = KN - KM$

5. Подставим найденные значения длин $KN$ и $KM$:
$MN = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a-b}{2}$

Если бы мы предположили, что $b > a$, то получили бы результат $\frac{b-a}{2}$. Таким образом, в общем случае расстояние между серединами диагоналей равно полуразности длин оснований.

Ответ: Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно полуразности длин ее оснований: $\frac{|a - b|}{2}$, где $a$ и $b$ — длины оснований.